Рациональные уравнения и неравенства - реферат

Содержание

I. Оптимальные уравнения.

1) Линейные уравнения.

2) Системы линейных уравнений.

3) Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

4) Возвратимые уравнения.

5) Формула Виета для многочленов высших степеней.

6) Системы уравнений 2-ой степени.

7) Способ введения новых неведомых при решении уравнений и систем уравнений.

8) Однородные уравнения.

9) Решение симметрических систем уравнений.

10) Уравнения и системы уравнений с параметрами.

11) Графический Рациональные уравнения и неравенства - реферат способ решения систем нелинейных уравнений.

12) Уравнения, содержащие символ модуля.

13) Главные способы решения оптимальных уравнений

II. Оптимальные неравенства.

1) Характеристики равносильных неравенств.

2) Алгебраические неравенства.

3) Способ интервалов.

4) Дробно-рациональные неравенства.

5) Неравенства, содержащие неведомое под знаком абсолютной величины.

6) Неравенства с параметрами.

7) Системы оптимальных неравенств.

8) Графическое решение неравенств.

III. Проверочный тест.

Оптимальные уравнения

Функция вида

P(x) = a Рациональные уравнения и неравенства - реферат0 xn + a1 xn – 1 + a2 xn – 2 + … + an – 1 x + an ,

где n — натуральное, a0 , a1 ,…, an — некие действительные числа, именуется целой рациональной функцией.

Уравнение вида P(x) = 0, где P(x) — целая рациональная функция, именуется целым оптимальным уравнением.

Уравнение вида

P1 (x) / Q1 (x) + P2 (x) / Q2 (x) + … + Pm (x) / Qm Рациональные уравнения и неравенства - реферат (x) = 0,

где P1 (x), P2 (x), … ,Pm (x), Q1 (x), Q2 (x), …, Qm (x) — целые оптимальные функции, именуется оптимальным уравнением.

Решение оптимального уравнения P (x) / Q (x) = 0, где P (x) и Q (x) — многочлены (Q (x) ¹ 0), сводится к решению уравнения P (x) = 0 и проверке того, что корешки удовлетворяют условию Q Рациональные уравнения и неравенства - реферат (x) ¹ 0.

Линейные уравнения.

Уравнения вида ax+b=0, где a и b — некие неизменные, именуется линейным уравнением.

Если a¹0, то линейное уравнение имеет единственный корень:x = -b /a.

Если a=0; b¹0, то линейное уравнение решений не имеет.

Если a=0; b=0, то, переписав начальное уравнение в Рациональные уравнения и неравенства - реферат виде ax = -b, просто созидать, что хоть какое x является решением линейного уравнения.

Уравнение прямой имеет вид: y = ax + b.

Если ровная проходит через точку с координатами X0 и Y0 , то эти координаты удовлетворяют уравнению прямой, т. е. Y0 = aX0 + b.

Пример 1.1 . Решить уравнение

2x – 3 + 4(x – 1) = 5.

Решение. Поочередно раскроем скобки, приведём подобные Рациональные уравнения и неравенства - реферат члены и найдём x: 2x – 3 + 4x – 4 = 5, 2x + 4x = 5 + 4 + 3,

6x = 12, x = 2.

Ответ: 2.

Пример 1.2. Решить уравнение

2x – 3 + 2(x – 1) = 4(x – 1) – 7.

Решение. 2x + 2x – 4x = 3 +2 – 4 – 7, 0x = – 6.

Ответ: Æ.

Пример 1.3 . Решить уравнение.

2x + 3 – 6(x – 1) = 4(x – 1) + 5.

Решение. 2x – 6x + 3 + 6 = 4 – 4x + 5,

– 4x + 9 = 9 – 4x,

-4x + 4x = 9 – 9,

0x = 0.

Ответ: Хоть какое число.

Системы линейных уравнений.

Уравнение Рациональные уравнения и неравенства - реферат вида

a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b,

где a1 , b1 , … ,an , b —некие неизменные, именуется линейным уравнением с n неведомыми x1 , x2 , …, xn .

Система уравнений именуется линейной, если все уравнения, входящие в систему, являются линейными. Если система из n неведомых, то вероятны последующие три варианта:

1) система не имеет решений Рациональные уравнения и неравенства - реферат;

2) система имеет ровно одно решение;

3) система имеет нескончаемо много решений.

Пример 2.4. решить систему уравнений

2x + 3y = 8,

3x + 2y = 7.

Решение. Решить систему линейных уравнений можно методом подстановки, который заключается в том, что какого-нибудь уравнения системы выражают одно неведомое через другие неведомые, а потом подставляют значение этого неведомого в другие уравнения.

Из Рациональные уравнения и неравенства - реферат первого уравнения выражаем:x= (8 – 3y) / 2. Подставляем это выражение во 2-ое уравнение и получаем систему уравнений


x = (8 – 3y) / 2,

3(8 – 3y) / 2 + 2y = 7.

Из второго уравнения получаем y = 2. С учётом этого из первого уравнения x = 1.

Ответ: (1; 2).

Пример 2.5. Решить систему уравнений


x + y = 3,

2x + 2y = 7.

Решение. Система не имеет решений, потому что два уравнения системы Рациональные уравнения и неравенства - реферат не могут удовлетворяться сразу (из первого уравнения x + y = 3, а из второго x + y = 3,5).

Ответ: Решений нет.

Пример 2.6. решить систему уравнений


x + y = 5,

2x + 2y = 10.

Решение. Система имеет нескончаемо много решений, потому что 2-ое уравнение выходит из первого оковём умножения на 2 (т.е. практически есть всего одно уравнение с 2-мя неведомыми Рациональные уравнения и неравенства - реферат).

Ответ: Нескончаемо много решений.

Пример 2.7. решить систему уравнений

x + y – z = 2,

2x – y + 4z = 1,

– x + 6y + z = 5.

Решение. При решении систем линейных уравнений комфортно воспользоваться способом Гаусса, который состоит в преобразовании системы к треугольному виду.

Умножаем 1-ое уравнение системы на – 2 и, складывая приобретенный итог со вторым уравнением, получаем – 3y + 6z Рациональные уравнения и неравенства - реферат = – 3. Это уравнение можно переписать в виде y – 2z = 1. Складывая 1-ое уравнение с третьим, получаем 7y = 7, либо y = 1.

Таким макаром, система заполучила треугольный вид


x + y – z = 2,

y – 2z = 1,

y = 1.

Подставляя y = 1 во 2-ое уравнение, находим z = 0. Подставляя y =1 и z = 0 в 1-ое уравнение, находим x = 1.

Ответ: (1; 1; 0).

Пример 2.8. при каких Рациональные уравнения и неравенства - реферат значениях параметра a система уравнений

2x + ay = a + 2,

(a + 1)x + 2ay = 2a + 4

имеет нескончаемо много решений?

Решение. Из первого уравнения выражаем x:

x = – (a / 2)y + a / 2 +1.

Подставляя это выражение во 2-ое уравнение, получаем

(a + 1)( – (a / 2)y + a / 2 +1) + 2ay = 2a + 4.

Дальше умножим обе части уравнения на 2 и упростим его:

(a + 1)(a Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 2 – ay) + 4ay = 4a + 8,

4ay – a(a + 1)y = 4(a + 2) – (a + 1)(a + 2),

ya(4 – a – 1 ) = (a + 2)(4 – a – 1),

ya(3 – a) = (a + 2)(3 – a).

Анализируя последнее уравнение, отметим, что при a = 3 оно имеет вид 0y = 0, т.е. оно удовлетворяется при всех значениях y.

Ответ: 3.

Квадратные уравнения и уравнения, сводящиеся к ним.

Уравнение вида ax2 + bx + c Рациональные уравнения и неравенства - реферат = 0, где a, b и c — некие числа (a¹0);

x — переменная, именуется квадратным уравнением.

Формула решения квадратного уравнения.

Поначалу разделим обе части уравнения ax2 + bx + c = 0 на a — от этого его корешки не поменяются. Для решения получившегося уравнения

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

выделим в левой части Рациональные уравнения и неравенства - реферат полный квадрат

x2 + (b / a) + (c / a) = (x2 + 2(b / 2a)x + (b / 2a)2 ) – (b / 2a)2 + (c / a) =

= (x + (b / 2a))2 – (b2 ) / (4a2 ) + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – ((b2 – 4ac) / (4a2 )).

Ради сокращенности обозначим выражение (b2 – 4ac) через D. Тогда приобретенное тождество воспримет вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + (b / 2a))2 – (D / (4a2 )).

Вероятны три варианта:

1) если число D положительно (D > 0), то в данном случае можно извлечь из D квадратный корень и записать D в виде D = (ÖD)2 . Тогда

D / (4a2 ) = (ÖD)2 / (2a)2 = (ÖD / 2a)2 , поэтому тождество воспринимает вид

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (ÖD / 2a Рациональные уравнения и неравенства - реферат)2 .

По формуле разности квадратов выводим отсюда:

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a) – (ÖD / 2a))(x + (b / 2a) + (ÖD / 2a)) =

= (x – (( -b + ÖD) / 2a)) (x – (( – b – ÖD) / 2a)).

Аксиома : Если производится тождество

ax2 + bx + c = a(x – x1 )(x – x2 ),

то квадратное уравнение ax2 + bx + c = 0 при Рациональные уравнения и неравенства - реферат X1 ¹ X2 имеет два корня X1 и X2 , а при X1 = X2 — только один корень X1 .

В силу этой аксиомы из, выведенного выше, тождества следует, что уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0,

а тем и уравнение ax2 + bx + c = 0, имеет два корня:

X1 =(-b + Ö D) / 2a Рациональные уравнения и неравенства - реферат; X2 = (-b - Ö D) / 2a.

Таким макаром x2 + (b / a)x + (c / a) = (x – x1)(x – x2).

Обычно эти корешки записывают одной формулой:

где b2 – 4ac = D.

2) если число D равно нулю (D = 0), то тождество

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2 ))

воспринимает вид x2 + (b / a Рациональные уравнения и неравенства - реферат)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 .

Отсюда следует, что при D = 0 уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень кратности 2: X1 = – b / 2a

3) Если число D негативно (D 0, и поэтому выражение

x2 + (b / a)x + (c / a) = (x + (b / 2a))2 – (D / (4a2 ))

является суммой 2-ух слагаемых, одно из которых Рациональные уравнения и неравенства - реферат неотрицательно, а другое положительно. Такая сумма не может приравниваться нулю, потому уравнение

x2 + (b / a)x + (c / a) = 0

не имеет реальных корней. Не имеет их и уравнение ax2 + bx + c = 0.

Таким макаром, для решения квадратного уравнения следует вычислить дискриминант

D = b2 – 4ac.

Если D = 0, то квадратное уравнение имеет единственное решение:

X Рациональные уравнения и неравенства - реферат=-b / (2a).

Если D > 0, то квадратное уравнение имеет два корня:

X1 =(-b + ÖD) / (2a); X2 = (-b - ÖD) / (2a).

Если D < 0, то квадратное уравнение не имеет корней.

Если один из коэффициентов b либо c равен нулю, то квадратное уравнение можно решать, не вычисляя дискриминанта:

1) b = 0; c ¹ 0; c / a <0; X Рациональные уравнения и неравенства - реферат1,2 = ±Ö(-c / a )

2) b ¹ 0; c = 0; X1 = 0, X2= -b / a.

Корешки квадратного уравнения вида ax2 + bx + c = 0 находятся по формуле


Квадратное уравнение, в каком коэффициент при x2 равен 1, именуется приведённым. Обычно приведённое квадратное уравнение обозначают так:

x2 + px + q = 0.

Аксиома Виета.

Мы вывели тождество

x2 + (b / a)x + (c / a Рациональные уравнения и неравенства - реферат) = (x – x1)(x – x2),

где X1 и X2 — корешки квадратного уравнения ax2 + bx + c =0. Раскроем скобки в правой части этого тождества.

x2 + (b / a)x + (c / a) = x2 – x1 x – x2 x + x1 x2 = x2 – (x1 + x2 )x +x1 x2 .

Отсюда следует, что X1 + X2 = – b / a и X1 X2 = c / a Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Мы обосновали последующую аксиому, в первый раз установленную французским математиком Ф. Виетом (1540 – 1603):

Аксиома 1 (Виета). Сумма корней квадратного уравнения равна коэффициенту при X,взятому c обратным знаком и делённому на коэффициент при X2 ; произведение корней этого уравнения равно свободному члену, делённому на коэффициент при X2 .

Аксиома 2 (оборотная). Если производятся равенства Рациональные уравнения и неравенства - реферат

X1 + X2 = – b / a и X1 X2 = c / a,

то числа X1 и X2 являются корнями квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.

Замечание.Формулы X1 + X2 = – b / a и X1 X2 = c / a остаются верными и в случае, когда уравнение ax2 + bx + c = 0 имеет один корень X1 кратности 2, если Рациональные уравнения и неравенства - реферат положить в обозначенных формулах X2 = X1 . Потому принято считать, что при D = 0 уравнение ax2 + bx +c = 0 имеет два совпадающих вместе корня.

При решении задач, связанных с аксиомой Виета, полезно использовать соотношения

(1 / X1 ) + (1/ X2 )= ( X1 + X2 )/ X1 X2 ;

X1 2 + X2 2 = (X1 + X2 )2 – 2 X1 X2 ;

X1 / X2 + X2 / X Рациональные уравнения и неравенства - реферат1 = (X1 2 + X2 2 ) / X1 X2 = ((X1 + X2 )2 – 2X1 X2 ) / X1 X2 ;

X1 3 + X2 3 = (X1 + X2 )(X1 2 – X1 X2 + X2 2 ) =

= (X1 + X2 )((X1 + X2 )2 – 3X1 X2 ).

Пример 3.9. Решить уравнение 2x2 + 5x – 1 = 0.

Решение. D = 25 – 42(– 1) = 33 >0;

X1 = (- 5 + Ö33) / 4; X2 = (- 5 -Ö33) / 4.

Ответ: X1 = (- 5 + Ö33) / 4; X2 = (- 5 -Ö33) / 4.

Пример 3.10. Решить уравнение x3 – 5x2 + 6x = 0

Решение.Разложим левую часть уравнения на множители x Рациональные уравнения и неравенства - реферат(x2 – 5x + 6) = 0,

отсюда x = 0 либо x2 – 5x + 6 = 0.

Решая квадратное уравнение, получаем X1 = 2 , X2 = 3.

Ответ: 0; 2; 3.

Пример 3.11.

x3 – 3x + 2 = 0.

Решение. Перепишем уравнение, записав –3x = – x – 2x, x3 – x – 2x + 2 = 0, а сейчас группируем

x(x2 – 1) – 2(x – 1) = 0,

(x – 1)(x(x + 1) – 2) = 0,

x – 1 = 0, x1 = 1,

x2 + x – 2 = 0, x2 = – 2, x3 = 1.

Ответ: x1 = x3 = 1, x2 = – 2.

Пример 3.12. Решить уравнение

= – 2.
7(x Рациональные уравнения и неравенства - реферат – 1)(x – 3)(x – 4)

(2x – 7)(x + 2)(x – 6)

Решение. Найдём область допустимых значений x:

X + 2 ¹ 0; x – 6 ¹ 0; 2x – 7 ¹ 0 либо x ¹ – 2; x ¹ 6; x ¹ 3,5.

Приводим уравнение к виду (7x – 14)(x2 – 7x + 12) = (14 – 4x)(x2 – 4x – 12), раскрываем скобки.

7x3 – 49x2 + 84x – 14x2 + 98x – 168 + 4x3 – 16x2 – 48x – 14x2 + 56x + 168 = 0,

11x3 – 93x2 + 190x = 0,

x(11x Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 – 93x + 190) = 0,

x1 = 0

11x2 – 93x + 190 = 0,

93±Ö(8649 – 8360) 93 ± 17

x2,3 = = ,

22 22

т.е. x1 = 5; x2 = 38 / 11.

Отысканные значения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: x1 = 0; x2 = 5; x3 = 38 / 11.

Пример 3.13. Решить уравнение x6 – 5x3 + 4 = 0

Решение.Обозначим y = x3 , тогда начальное уравнение воспринимает вид

y2 – 5y + 4 = 0, решив которое получаем Y1 = 1; Y2 = 4.

Таким макаром, начальное уравнение эквивалентно совокупы

уравнений:x3 = 1 либо x3 = 4, т Рациональные уравнения и неравенства - реферат. е. X1 = 1 либо X2 = 3 Ö4

Ответ: 1; 3 Ö4.

Пример 3.14. Решить уравнение (x3 – 27) / (x – 3) = 27

Решение.Разложим числитель на множители (по формуле разности кубов):

(x – 3)(x2 + 3x + 9) / (x – 3) = 27 . Отсюда:

x2 + 3 x + 9 = 27,

x – 3 ¹ 0;


x2 + 3 x – 18 = 0,

x ¹ 3.

Квадратное уравнение x2 + 3 x – 18 = 0 имеет корешки X1 = 3; X2 = -6

(X1 не заходит в область допустимых значений).

Ответ Рациональные уравнения и неравенства - реферат: -6

Пример 3. 15 . Решить уравнение

(x2 + x –5) / x + (3x) / (x2 + x – 5) = 4.

Решение.Обозначим y= (x2 + x – 5) / x, тогда получаем уравнение y + 3 / y = 4.

Преобразуем его:y + 3 / y – 4 = 0, (y2 – 4y + 3) / y = 0, отсюда

y2 – 4y + 3 = 0,

y ¹ 0

Квадратное уравнение y2 – 4y + 3 = 0 имеет корешки Y1 = 1; Y2 = 3 (оба корня входят в область допустимых значений).

Таким макаром Рациональные уравнения и неравенства - реферат корешки, начальное уравнение эквивалентно (равносильно) совокупы уравнений

(x2 + x – 5) / x = 1 либо (x2 + x – 5) / x = 3.

Преобразуем их:

(x2 + x – 5) / x – 1 = 0 либо (x2 + x – 5) / x – 3 = 0;

x2 – 5 = 0,

x ¹ 0

либо

x2 – 2x – 5 = 0,

x ¹ 0;

X1 = Ö5; X2 = – Ö5 либо X3 = 1 + Ö6; X4 = 1 – Ö6

(все отысканные корешки уравнения входят в область допустимых значений).

Ответ:Ö5; – Ö5; 1 + Ö6; 1 – Ö6 .

Пример 3. 16 . Решить уравнение x Рациональные уравнения и неравенства - реферат(x + 2)(x + 3)(x + 5) = 72.

Решение.Перегруппируем сомножители и преобразуем приобретенное уравнение

(x + 2)(x + 3)(x + 5)x = 72, (x2 + 5x + 6)(x2 + 5x) = 72.

Обозначим y = x2 + 5x, тогда получим уравнение (y + 6)y = 72, либо

y2 + 6y – 72 = 0.

Корешки этого уравнения:Y1 = 6; Y2 = – 12.

Таким макаром, начальное уравнение эквивалентно совокупы уравнений

x2 + 5x = 6 либо x2 + 5x = – 12.

1-ое уравнение Рациональные уравнения и неравенства - реферат имеет корешки X1 = 1; X2 = – 6. 2-ое уравнение корней не имеет, потому что D = 26 – 48 = – 23 < 0.

Ответ: – 6; 1.

Пример 3.1 7 . Решить уравнение 4x2 + 12x + 12 / x + 4 / x2 = 47.

Решение.Сгруппируем слагаемые:4(x2 + 1 / (x2 )) + 12(x + 1 / x) = 47.

Обозначим y = x + 1 / x, при всем этом заметим, что

y2 = (x +1 / x)2 = x2 +2 + 1 / (x2 ),

отсюда x2 + 1 / (x2 ) = y2 – 2. С учётом этого получаем Рациональные уравнения и неравенства - реферат уравнение

4(y2 – 2) + 12y = 47, либо 4y2 + 12y - 55 = 0.

Это квадратное уравнение имеет корешки Y1 = 5 / 2; Y2 = – 11 / 2.

Начальное уравнение эквивалентно совокупы уравнений

x + 1 / x = 5 / 2 либо x + 1 / x = – 11 / 2.

Решим их:

x + 1 / x – 5 /2 = 0 либо x + 1 / x + 11 / 2 = 0;

2x2 – 5x + 2 = 0,

x ¹ 0

либо

2x2 + 11x + 2 = 0,

x ¹ 0;

X1 = 2; X2 = 1 / 2 либо X3 = ( - 11 + Ö105) / 4; X4 = ( -11 - Ö105) / 4

(все отысканные корешки уравнения входят Рациональные уравнения и неравенства - реферат в область допустимых значений).

Ответ: 2; 0,5; ( - 11 + Ö105) / 4; (-11 - Ö105) / 4.

Пример 3.18. Решить уравнение x3 – x2 – 9x – 6 = 0.

Решение. Угадаем хотя бы один корень данного уравнения. “Кандидатами” в целочисленные корешки (а только их есть надежда отгадать) являются числа

±1, ±2, ±3, ±6.

Подстановкой в начальное уравнение убеждаемся, что X = -2 является его корнем.


Разделим многочлен x3 – x2 – 9x – 6 на бином x + 2

x Рациональные уравнения и неравенства - реферат3 – x2 – 9x – 6 = (x + 2)(x2 – 3x – 3) = 0.

Решив сейчас уравнение x2 – 3x – 3 = 0,

получаем X2 = (3 - Ö21) / 2, X3 = (3 + Ö21) / 2.

Ответ: xÎ {-2; (3 - Ö21) / 2; (3 + Ö21) / 2}.

Пример 3.19.

x3 – x2 – 8x + 6 = 0.

Решение. Тут an = 1, a0 = 6. Потому, если данное уравнение имеет оптимальные корешки, то их следует находить посреди делителей числа 6: ±1, ±2, ±3, ±6. Проверкой убеждаемся, что x = 3, т.к. 27 – 9 – 24 + 6 = 0.

Делим (x3 – x2 – 8x + 6) на (x – 3)

Получаем: x Рациональные уравнения и неравенства - реферат3 – x2 – 8x + 6 = (x – 3)(x2 + 2x – 2), т.е. данное уравнение можно представить в виде (x – 3)(x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда находим, что x1 = 3 — решение, отысканное подбором, x2,3 = – 1 ±Ö3 — из уравнения x2 + 2x – 2 = 0.

Ответ: x1 = 3; x2,3 = – 1 ±Ö3.

Пример 3.20.

4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1 = 0.

Решение. Тут an = 4, a0 = –1. Потому оптимальные корешки уравнения следует находить посреди чисел: ± 1; ± 0,5; ± 0,25 (делители 4 есть Рациональные уравнения и неравенства - реферат ±1; ±2; ±4, делители (– 1) есть ± 1). Если x = +1, то 4 + 8 + 1 – 3 – 1 ¹ 0; если x = – 0,5, то

4 / 16 – 8 / 8 + 1 / 4 + 3 / 2 – 1 = 0, т.е. x = – 0,5 корень уравнения. Делим

(4x4 + 8x3 + x2 – 3x – 1) на (x + 0,5):

Данное уравнение можно представить в виде:(x + 0,5)(4x3 + 6x2 – 2x – 2) = 0.

Отсюда x1 = – 0,5 (решение, отысканное подбором) и 4x3 + 6x2 – 2x – 2 = 0, т.е. 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0. Аналогично Рациональные уравнения и неравенства - реферат находим корень этого уравнения:x = – 0,5. Опять делим.

Имеем: (x + 0,5)(2x2 + 2x – 2) = 0. Отсюда x2 = – 0,5 и x3,4 = (– 1 ±Ö5) / 2.

Ответ: x1 = x2 = – 0,5;x3,4 = (– 1 ±Ö5) / 2.

Замечание: зная, что x = – 0,5, можно не заниматься делением, а просто выделить за скобки множитель (x + 0,5). Из 2x3 + 3x2 – x – 1 = 0 следует:

2x3 + 3x2 – x – 1 = 2x3 + x2 +2x2 + x – 2x – 1 = 2x2 (x + 0,5) + 2x(x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 0,5) – 2(x+0,5) =

= (x +2)(2x2 + 2x – 2) = 0.

x1 = – 0,5; x3,4 = (– 1 ±Ö5) / 2.

Возвратимые уравнения.

Уравнение вида

an xn + an – 1 xn – 1 + … +a1 x + a0 = 0

именуется возвратимым, если его коэффициенты, стоящие на симметричных позициях, равны, другими словами если

an – 1 = ak , при k = 0, 1, …, n.

Разглядим возвратимое уравнение четвёртой степени вида

ax4 + bx3 + cx2 + bx + a = 0,

где a, b и c Рациональные уравнения и неравенства - реферат — некие числа, причём a ¹ 0. Его комфортно решать при помощи последующего метода:

— поделить левую и правую части уравнения на x2 . При всем этом не происходит утраты решения, потому что x = 0 не является корнем начального уравнения при a ¹ 0;

— группировкой привести приобретенное уравнение к виду

a(x2 + 1 / x2 ) + b(x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 1 / x) + c = 0;

— ввести новейшую переменную t = x + 1 / x, тогда выполнено

t2 = x2 + 2 + 1 / x2 , другими словами x2 + 1 / x2 = t2 – 2;

в новых переменных рассматриваемое уравнение является квадратным:

at2 + bt + c – 2a = 0;

— решить его относительно t, вернуться к начальной переменной.

Для возвратимых уравнений более больших степеней верны последующие утверждения.

Возвратимое уравнение Рациональные уравнения и неравенства - реферат чётной степени сводится к уравнению в два раза наименьшей степени подстановкой

x + 1 / x = t.

Возвратимое уравнение нечётной степени непременно имеет корень x= -1 и после деления многочлена, стоящего в левой части этого уравнения, на бином x + 1, приводится к возвратимому уравнению чётной степени.

Пример 4.21. Разглядим, к примеру, возвратимое уравнение пятой степени

ax5 + bx Рациональные уравнения и неравенства - реферат4 + cx3 + cx2 + bx + a = 0

Просто созидать, что x = – 1 является корнем этого уравнения, а поэтому по аксиоме Безу многочлен в левой части уравнения делится на x + 1. В итоге такового деления получится возвратимое уравнение четвёртой степени.

Достаточно нередко в процессе решения задач вступительных экзаменов появляются оптимальные уравнения степени выше 2-ой Рациональные уравнения и неравенства - реферат, которые не удаётся решить при помощи тривиальной подмены переменной. В данном случае попробуйте отгадать какой-либо корень уравнения. Если попытка окажется удачной, то Вы воспользуетесь следствием 1 аксиомы Безу и понизите на единицу степень начального уравнения. “Кандидатов” в корешки многочлена с целочисленными коэффициентами следует находить посреди делителей свободного члена этого многочлена. Если Рациональные уравнения и неравенства - реферат же попытка угадать корешки не удалась, то, может быть, Вы выбрали “не тот” способ решения, и существует другой способ, реализация которого не просит решения уравнения третьей либо большей степени.

Формулы Виета для многочленов высших степеней.

Пусть многочлен P (x) = a0 xn + a1 xn – 1 + … + an

имеет n разных корней X1 , X Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 , …, Xn . В данном случае он имеет разложение на множители вида

a0 xn + a1 xn – 1 + … + an = a0 (x – x1 )(x – x2 )…(x – xn ).

Разделим обе части этого равенства на a0 ¹ 0 и раскроем скобки. Получим равенство

Xn + (a1 / a0 )xn – 1 + … + (an / a0 ) =

= xn – (x1 + x2 + … +xn )xn – 1 + (x1 x2 +x Рациональные уравнения и неравенства - реферат1 x3 + … +xn-1 xn )xn – 2 +

+ … + (-1)n x1 x2 …xn .

Но два многочлена тождественно равны в том и исключительно в том случае, когда коэффициенты при схожих степенях равны. Отсюда следует, что производятся равенства

x1 + x2 + … + xn = -a1 / a0 ,

x1 x2 + x1 x3 + … + xn – 1 xn = a2 / a0 ,

…………………….

x1 x2 × … ×xn = (-1)n an / a0­ .

Пример 5.22. Напишем Рациональные уравнения и неравенства - реферат кубическое уравнение, корешки которого являются квадратами корней уравнения x3 – 3x2 + 7x + 5 = 0.

Решение. Обозначим корешки данного уравнения через x1 , x2 и x3 . Тогда по формулам Виета имеем

s1 = x1 + x2 +x3 = 3,

s2 = x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = 7,

s3 = x1 x2 x3 = – 5.

Корешки искомого уравнения обозначим знаками y1 , y2 , y3 , а Рациональные уравнения и неравенства - реферат его коэффициенты — знаками b1 , b2 , b3 , положив коэффициент при y3 равным 1. По условию должны производиться равенства y1 = x1 2 , y2 = x2 2 , y3 = x3 2 и потому

b1 = – (y1 + y2 + y3 ) = – (x1 2 + x2 2 + x3 2 ),

b2 = y1 y2 + y1 y3 + y2 y3 = x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 ,

b3 = – y1 y2 y3 = – x Рациональные уравнения и неравенства - реферат1 2 x2 2 x3 2 .

Но имеем

x1 2 + x2 2 + x3 2 = (x1 + x2 +x3 )2 – 2(x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 ) = s1 2 - 2s2 = 32 – 2×7 = – 5,

x1 2 x2 2 + x1 2 x3 2 + x2 2 x3 2 = (x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 )2 – 2x1 x2 x3 (x1 + x2 +x3 )= s2 2 – 2s1 s3 = = 72 – 2×3×(– 5)= 79,

x1 2 x2 2 x3 2 = (x1 x2 x3 )2 = s3 2 = 25.

Означает, b1 = 5, b2 = 79, b Рациональные уравнения и неравенства - реферат3 = – 25, и поэтому разыскиваемое уравнение имеет вид

y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Ответ: y3 + 5y2 + 79y – 25 = 0.

Системы уравнений 2-ой степени.

В простых случаях при решении систем уравнений 2-ой степени удаётся выразить одно неведомое через другое и подставить это выражение во 2-ое уравнение.

При решении систем уравнений 2-ой степени нередко употребляется также метод Рациональные уравнения и неравенства - реферат подмены переменных.

Пример 6.23. Посреди решений (x; y) системы отыскать то, для которого сумма (x + y) максимальна. Вычислить значение этой суммы.


2x + y = 7,

xy = 6.

Решение. Из первого уравнения получаем y = 7 – 2x. Подставляя значение y во 2-ое уравнение, получаем систему уравнений

y = 7 – 2x,

7x – 2x2 = 6.

Квадратное уравнение – 2x2 + 7x – 6 = 0 имеет корешки X1 = 2; X Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 = 3 / 2. Из первого уравнения получаем Y1 = 3; Y2 = 4.

Решения имеют вид (2; 3) и (1,5; 4). Большая сумма x + y = 1,5 + 4 = 5,5.

Ответ: 5,5.

Пример 6.24. Решить систему уравнений

x + y + 2xy = 7,

xy + 2(x + y) = 8.

Решение. Обозначим a = x + y; b = xy.

Получаем систему уравнений


a + 2b = 7,

b + 2a = 8

либо

a = 7 – 2b,

b + 14 – 4b = 8.

Отсюда

a = 3,

b = 2.

Ворачиваясь к переменным x Рациональные уравнения и неравенства - реферат и y, получаем

x + y = 3,

xy = 2.

Решив эту систему:

x = 3 – y,

(3 – y)y = 2;

y2 – 3y + 2 = 0, Y1 = 1; X1 = 2; Y2 = 2; X2 = 1.

Ответ: (2; 1) , (1; 2).

Пример 6.25. Решить систему уравнений

y2 – xy = 12,

x2 – xy = – 3.

Решение. Разложим левые части уравнений на множители:

y(y – x) = 12,

x(x – y) = – 3.

Выразив из второго уравнения (x ¹ 0)x – y = – 3 / x, т.е Рациональные уравнения и неравенства - реферат. y – x = 3 / x, и подставив его в 1-ое уравнение, получим

y / x = 4,

x(x – y) = – 3, откуда

y = 4x,

x(x – y) = – 3.

Подставив значение y во 2-ое уравнение последней системы, имеем

- 3x2 = – 3, X1 = 1; X2 = – 1, тогда Y1 = 4; Y2 = – 4.

Ответ: (1; 4), (– 1; – 4).

Пример 6.26. Решим задачку.

Задачка. Найдём длины сторон прямоугольника, если его периметр равен Рациональные уравнения и неравенства - реферат 16 м, а площадь равна 15 м2 .

Решение. Обозначим длины сторон прямоугольника знаками х и у. По условию задачки должны выполнятся равенства 2х + 2у = 16, т.е. х + у = 8 и ху = 15

Таким макаром, задачка свелась к решению системы уравнений

х + у = 8,

ху = 15,

т.е. к отысканию значений х и у, подстановка которых в оба Рациональные уравнения и неравенства - реферат уравнения системы направляет их в верные числовые равенства.

Из первого уравнения находим, что у = 8 – у. Подставляя это значение во 2-ое уравнение, получаем х(8 - у) = 15, т.е. 8х - х2 = 15 либо

х2 - 8х + 15 = 0.

Решим это уравнение:D = (-8)2 - 4×1×15 = 64 - 60 = 4,

Х1,2 = (8 ±Ö4) / 2 = (8 ± 2) / 2.

Означает, х1 = 5, х2 = 3. Так как у = 8 - х, то получаем у1 = 3, а у2 = 5. В обоих Рациональные уравнения и неравенства - реферат случаях получаем один и тот же прямоугольник, длины сторон которого равны 3 м и 5 м.

Замечание: уравнение х2 - 8х + 15 = 0 можно вывести резвее, используя аксиому, оборотную аксиоме Виета: потому что сумма чисел х и у равна 8, а их произведение равно 15, то эти числа являются корнями уравнения z2 - 8z + 15 = 0.

Разглядим системы Рациональные уравнения и неравенства - реферат, состоящие из 2-ух уравнений с 2-мя неведомыми. Если в одно из их какое-нибудь неведомое заходит только в первой степени, то из этого уравнения можно выразить это неведомое через другое и подставить приобретенное выражение во 2-ое уравнение системы. Получится уравнение с одним неведомым. Решая его, находим значения этого Рациональные уравнения и неравенства - реферат неведомого, а позже по ним находим значения оставшегося неведомого.

Пример 6.27. Решим систему уравнений

2х + у = 11,

х2 + у2 = 53.

Решение. Из первого уравнения находим, что у = 11 - 2х. Подставляя это значение во 2-ое уравнение, получаем: х2 + (11 - 2х)2 = 53.

Раскроем скобки и приведём подобные члены:

х2 + 121 - 44х + 4х2 = 53

и поэтому 5х2 - 44х + 68 = 0. Означает, для нахождения х нужно Рациональные уравнения и неравенства - реферат решить уравнение

5х2 - 44х + 68 = 0.

Решая его, находим D = (-44)2 - 4×5×68 = 1936 - 1360 = 576,

Х1,2 = (44 ± 24) / 10.

Итак х1 = 6,8; х2 = 2, Þ у1 = 11 - 2×6,8 = -2,6; у2 = 11 - 2×2 = 7.

Ответ: х1 = 6,8; у1 = -2,6; х2 = 2; у2 = 7.

Способ введения новых неведомых при решении уравнений и систем уравнений.

При решении биквадратных и возвратимых уравнений мы вводили новые неведомые (у = х2 для биквадратных уравнений и у = х Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 1 / х для возвратимых уравнений). Введение новых неведомых применяется также при решении уравнений другого вида и систем уравнений.

Пример 7.28. Решим уравнение 12 / (х2 + 2х) - 3 / (х2 + 2х - 2) = 1.

Решение. Если испытать привести дробь в левой части уравнения к одному знаменателю, то получим уравнение четвёртой степени, которое мы умеем решать. Чтоб решить данное уравнение, заметим Рациональные уравнения и неравенства - реферат, что в обе дроби заходит одно и то же выражение х2 + 2х. Потому введём новое неведомое у, положив, что у = х2 + 2х. Тогда уравнение воспримет вид

12 / у - 3 / (у - 2) = 1 либо (у2 - 11у + 24) / (у(у - 2)) = 0,

откуда y1 = 3; y2 = 8. Осталось решить уравнения х2 + 2х = 3 (его корешки х1 = 1, х2 = -3) и х2 + 2х = 8 (его корешки х Рациональные уравнения и неравенства - реферат3 = 2, х4 = -4).

Применённый способ именуется способом введения новых неведомых, и его полезно использовать, когда неведомое заходит в уравнение везде в виде одной и той же композиции (в особенности если эта композиция содержит степени неведомого выше первой).

Пример 7.29. Решим систему уравнений


2 / х + 3 / у = 8,

5 / х - 2 / у = 1.

Решение. Обозначим 1 / х через U Рациональные уравнения и неравенства - реферат, а 1 / у через V. Тогда система воспримет вид

2U + 3V = 8,

5U - 2V = 1,

т.е. получится система 2-ух линейных уравнений с 2-мя неведомыми U и V. Из первого уравнения выражаем U через V: U = 4 - 3V / 2, и подставляя во 2-ое: 5(4 - 3V / 2) -2V = 1, откуда V = 2. Сейчас находим U = 1 и решаем уравнения 1 / x = 1, 1 / y = 2.

Ответ: x Рациональные уравнения и неравенства - реферат = 1, y = 0,5.

Пример 7.30.

(x – 4)(x – 5)(x – 6)(x – 7) = 1680.

Решение. (x – 4)(x – 7)×(x – 5)(x – 6) = 1680, т.е.

(x2 – 11x + 28)(x2 – 11x + 30) = 1680.

Обозначим x2 – 11x + 28 = t, тогдаt(t + 2) = 1680, t2 + 2t – 1680 = 0, t1 = – 42; t2 = 40. Потому

x2 – 11x + 28 = – 42; x2 – 11x + 70 = 0; D = 121 – 280 < 0 Þ x1,2 ÎÆ.

x2 – 11x + 28 = 40; x2 – 11x – 12 = 0; x1 = 12; x2 = – 1.

Ответ: x1 = 12; x2 = – 1.

Пример 7.31.

2x4 + 3x3 – 16x2 + 3x + 2 = 0.

Решение Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Это возвратимое уравнение. Разделим обе части уравнения на x2 ¹ 0, получим

2x2 + 3x – 16 +3 / x + 2 / x2 = 0, т.е.

2(x2 + 1 / x2 ) + 3(x + 1 / x) – 16 = 0,

обозначим x + 1 / x = t, тогда x2 + 2 + 1 / x2 = t2 , т.е. x2 + 1 / x2 = t2 – 2, получаем 2(t2 – 2) + 3t – 16=0, т.е. 2t2 + 3t – 20 = 0, t1 = – 4; t2 = 5 / 2 = 2,5. Как следует, имеем

x + 1 / x Рациональные уравнения и неравенства - реферат = – 4; x2 + 4x + 1 = 0; x1,2 = –2 ±Ö3,

x + 1 / x = 2,5; 2x2 – 5x + 2 = 0; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Ответ: x1,2 = –2 ±Ö3; x3 = 2; x4 = 1 / 2.

Пример 7.32.

(x + 3)4 + (x + 5)4 = 16.

Решение. Создадим подстановку x = t – 4. Тогда получаем (t – 1)4 + (t + 1)4 = 16, т.е.

t4 – 4t3 + 6t2 – 4t + 1 + t4 + 4t3 + 6t2 + 4t + 1 = 16,

т.е. 2t4 + 12t2 – 14 = 0, либо t4 + 6t2 – 7 = 0. Положим t2 = z ³ 0,тогда

z Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 +6z – 7 = 0, z1 = – 7; z2 = 1.

С учётом t2 = z ³ 0 отбрасываем z1 . Итак, z = 1, т.е. t2 = 1, отсюда t1 = –1; t2 = 1. Как следует, x1 = – 1 – 4 = – 5 и x2 = 1 – 4 = – 3.

Ответ: x1 = – 5 и x2 = – 3.

Пример 7.33.

13x / (2x2 + x +3) + 2x / (2x2 – 5x + 3) = 6.

Решение. Разделим числитель и знаменатель дробей на x ¹ 0:

13 / (2x + 1 + 3 / x) + 2 / (2x – 5 +3 / x) = 6,

обозначим 2x + 3 /x Рациональные уравнения и неравенства - реферат = t. Получаем 13 / (t + 1) + 2 / (t – 5) = 6, т.е.

13t – 65 + 2t + 2 = 6t2 – 24t – 30, т.е.

6t2 – 39t + 33 = 0, т.е. 2t2 – 13t + 11 = 0,

t1 = 1;t2 = 5,5.

Как следует:

2x + 3 / x = 1; 2x2 – x + 3 = 0; D = 1 – 24 < 0 Þ x ÎÆ.

2x + 3 / x = 5,5; 4x2 – 11x + 6 = 0; x1 = 2; x2 = 0,75.

Ответ: x1 = 2; x2 = 0,75.

Пример 7.34.

x4 – 2x3 + x – 0,75 = 0.

Решение. Выделим полный квадрат, прибавив и вычтя Рациональные уравнения и неравенства - реферат в левой части уравнения x2 :

x4 – 2x3 + x2 – x2 + x – 0,75 = 0, т.е.

(x2 – x)2 – (x2 – x) – 0,75 = 0.

Пусть x2 – x = t, тогда t2 – t – 0,75 = 0, x1 = – 0,5; x2 = 1,5.

Ворачиваясь к старенькой переменной, получаем:

x2 – x = – 0,5; x2 – x + 0,5 = 0; D = 1 – 2 < 0 Þ x ÎÆ.

x2 – x = 1,5; x2 – x – 1,5 = 0; x1,2 = (1 ±Ö7) / 2.

Ответ: x1,2 = (1 ±Ö7) / 2.

Пример 7.35.

x2 + 81x2 / (9 + x)2 = 40.

Решение. Воспользуемся формулой:a Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 + b2 = (a – b)2 + 2ab ((a - b)2 = a2 - 2ab + b2 ÞÞ a2 + b2 = (a - b)2 + 2ab). Получаем:

(x – 9x / (9 + x))2 + 2x×9x / (9 + x) = 40, либо

(x2 / (9 + x))2 + 18x2 / (9 + x) = 40.

Пусть:(x2 / (9 + x)) = t. Тогда t2 + 18t – 40 = 0, t1 = – 20; t2 = 2. Получаем два уравнения:

(x2 / (9 + x)) = 2; x2 – 2x – 18 = 0; x1,2 = 1 ±Ö19,

(x2 / (9 + x)) = – 20; x2 + 20x + 180 = 0; D = 400 – 720 < 0, Þ x ÎÆ.

Ответ Рациональные уравнения и неравенства - реферат: x1,2 = 1 ±Ö19.

Однородные уравнения.

Пример 8.36. Решим систему уравнений

8х2 - 6ху + у2 = 0,

х2 + у2 = 5.

Решение. заметим, что для решения системы производится условие у¹ 0. По правде, из первого уравнения следует, что если у = 0, то и х = 0, а числа х = 0 и у = 0 не удовлетворяют второму уравнению системы. Разделим 1-ое уравнение на Рациональные уравнения и неравенства - реферат у2 . Получится уравнение

8х2 / у2 - 6ху / у2 + у2 / у2 = 0 либо 8х2 / у2 - 6х / у + 1 = 0.

Введём вспомогательное неведомое U = х / у. Уравнение воспримет вид

8U2 - 6U + 1 = 0.

Это квадратное уравнение, имеющее корешки U1 = 0,5; U2 = 0,25. Таким макаром, из первого уравнения мы получаем что или x / y = 1 / 2, или x / y = 1 / 4. Осталось подставить выражения у =2х Рациональные уравнения и неравенства - реферат и у = 4х (рассмотрев оба варианта) во 2-ое уравнение системы. В первом случае выходит уравнение 5х2 = 5, откуда х1 = 1, х2 = - 1; соответственно у1 = 2, у2 = - 2. Во 2-м случае выходит уравнение17х2 = 5, откуда х3 = Ö(5 / 17), x4 = -Ö(5 / 17); соответственно y3 = 4Ö(5 / 17), y4 = - 4Ö(5 /17).

1-ое уравнение системы нам удалось представить как уравнение относительно x / y благодаря тому, что Рациональные уравнения и неравенства - реферат степень всех членов, входящих слагаемыми в это уравнение (8x2 , 6xy, y2 ), одна и та же — она равна двум. Потому после деления на y2 каждое слагаемое выразилось через x / y.

Многочлен от 2-ух переменных x и y таковой, что степень каждого его члена равна одному и тому же числу k, именуется однородным многочленом Рациональные уравнения и неравенства - реферат степени k.

Уравнение вида P (x, y) = 0 именуется однородным уравнением степени k относительно x и y, если P (x, y) — однородный многочлен степени k. Однородное уравнение относительно x и y делением на yk (если y = 0 не является корнем уравнения) преобразуется в уравнение относительно неведомого x / y. Это Рациональные уравнения и неравенства - реферат свойство однородного уравнения помогает решать многие задачки.

Пример 8.37. Решить систему уравнений


y2 - xy = -12,

x2 - xy = 28.

Решение. Ни одно из уравнений системы не является однородным. Но если помножить 1-ое уравнение на 7 и прибавить к нему почленно 2-ое уравнение, умноженное на 3, то получится уравнение 7y2 - 10xy + 3x2 = 0, являющееся следствием начальной системы. Разделим обе Рациональные уравнения и неравенства - реферат части уравнения на x2 и решим уравнение 7U2 - 10U + 3 = 0 (тут U = y / x, причём из второго уравнения системы следует, что x ¹ 0). Находим, что y = x либо y = 3x / 7. Подставляя это выражение во 2-ое уравнение и, рассмотрев оба варианта, найдём решения:

x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y2 = -3.

Ответ: x1 = 7, y1 = 3; x2 = -7, y Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 = -3.

Мы получили решения системы оковём выведения из данных уравнений вспомогательного следствия. Таковой метод решения систем в неких случаях приводит к возникновению “сторонних” корней — значений x и y, не удовлетворяющих начальной системе. Потому отысканные корешки нужно проверить, подставив их начальную систему и убедившись, что уравнения системы обращаются Рациональные уравнения и неравенства - реферат в верные числовые равенства.

Пример 8.38. Решим уравнение (x - 1)4 + 9(x + 1)4 = 10(x2 - 1)2 .

Решение. Если раскрыть все скобки и привести подобные члены, то получится уравнение четвёртой степени. Попробуем другой путь: введём новые неведомые U и V:

U = (x - 1)2 , V = (x + 1)2 .

Уравнение воспримет вид U2 + 9V2 = 10UV.

Это уравнение однородное, и после деления на V Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 оно становится уравнением относительно неведомого W:

W = U / V = (x - 1)2 / (x + 1)2 .

Решим вспомогательное уравнение

W2 - 10W + 9 = 0.

Его корешки W1 = 1, W2 = 9. Осталось решить уравнения

(x - 1)2 / (x + 1)2 = 1 и (x - 1)2 / (x + 1)2 = 9.

Из первого уравнения следует, что или (x - 1) / (x + 1) = 1, или (x - 1) / (x + 1) = -1.

Из второго получаем, что или (x - 1) / (x + 1) = 3, или (x Рациональные уравнения и неравенства - реферат - 1) / (x + 1) = -3. Решая получившиеся уравнения, лицезреем, что 1-ое из их не имеет корней, а из трёх других получаем x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.

Ответ: x1 = 0, x2 = - 2, x3 = -0,5.

Пример 8.39.

3(x2 – x + 1)2 – 5(x + 1)(x2 – x + 1) – 2(x + 1)2 = 0.

Решение. Это так называемое однородное уравнение, т.е. уравнение вида

ay2 a + bya za + cz2 a = 0,

где Рациональные уравнения и неравенства - реферат a, b, c, a — данные числа, хорошие от нуля;y = y(x), z = z(x) — некие функции от x. Разделим обе части уравнения на (x2 – x + 1)2 ¹ 0:

3 – 5(x + 1) / (x2 – x + 1) – 2((x + 1) / (x2 – x + 1))2 = 0.

Пусть (x + 1) / (x2 – x + 1) = t, тогда 3 – 5t – 2t2 = 0, т.е. t1 = – 3; t2 = 0,5. Как следует:

(x + 1) / (x2 – x + 1) = 0,5 = 1 / 2; 2x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 2 = x2 – x + 1; x2 – 3x – 1 = 0; x1,2 = (3 ±Ö13) / 2,

(x + 1) / (x2 – x + 1) = – 3; x + 1 = – 3x2 + 3x – 3; 3x2 – 2x + 4 = 0; D = 4 – 48 < 0, Þ x ÎÆ.

Ответ: x1,2 = (3 ±Ö13) / 2.

Решение симметрических систем уравнений.

Напомним, что многочлен P (x, y) именуется симметрическим, если P (x , y) = P (y, x).

При решении систем уравнений вида


P1 (x, y) = 0,

P2 (x, y) = 0,

где Рациональные уравнения и неравенства - реферат P1 (x, y) и P2 (x, y) — симметрические многочлены, полезной оказывается такая подмена неведомых:x + y = U, xy = V. Напомним, что хоть какой симметрический многочлен P (x, y) можно представить как выражение от U и V.

Пример 9.40. Решить систему уравнений

x2 + xy + y2 = 49,

x + y + xy = 23.

Решение. Заметим, что Рациональные уравнения и неравенства - реферат:

x2 + xy + y2 = x2 + 2xy + y2 - xy = (x + y)2 - xy.

Создадим подмену неведомых:x + y = U, xy =V. Система воспримет вид:

U2 - V = 49,

U + V = 23.

Сложив эти уравнения, получим уравнение U2 + U - 72 = 0 с корнями U1 = 8,U2 = -9. Соответственно V1 = 15, V2 = 32. Остаётся решить системы уравнений:

x + y = 8,

xy = 15,

x + y = - 9,

xy = 32.

Система x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + y = 8, имеет решения:x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

xy = 15.

Система x + y = - 9, реальных решений не имеет.

xy = 32.

Ответ: x1 = 3, y1 = 5; x2 = 5, y2 = 3.

Пример 9.41. Решить систему

1 / x + 1 / y = 5,

1 / x2 + 1 / y2 = 13.

Решение. Поначалу введём неведомые X и Y:

X = 1 / x, Y = 1 / y,

а потом U и V: U = X + Y = 1 / x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 1 / y, V = XY = 1 / xy.

Выходит система:

U = 5,

U2 - 2V = 13,

из которой U = 5, V = 6. Дальше решая систему

X + Y = 5,

XY = 6,

находим X1 = 2, Y1 = 3; X2 = 3, Y2 = 2, откуда получаем x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2. Можно сходу ввести неведомые U = x + y, V = xy, получится система

U = 5V,

U2 - 2V = 13V2 ,

Приводящая к этим же Рациональные уравнения и неравенства - реферат решениям начальной системы.

Ответ: x1 = 1 / 2, y1 = 1 / 3; x2 = 1 /3, y2 = 1 / 2.

Уравнения и системы уравнений с параметрами.

Время от времени в уравнениях некие коэффициенты заданы не определенными числовыми значениями, а обозначены знаками. Такие буковкы именуются параметрами. Подразумевается, что эти характеристики могут принимать любые числовые значения, т.е. одно уравнения с параметрами задаёт Рациональные уравнения и неравенства - реферат огромное количество уравнений (для всех вероятных значений характеристик).

К примеру, линейное уравнение ax + b = c с неведомым x можно рассматривать как уравнение с параметрами a, b, и c. Его решением при a ¹ 0 является x = (c - b) / a. Если a = 0, то выходит “уравнение” b = c, и если вправду b = c Рациональные уравнения и неравенства - реферат, то корнями данного уравнения являются все действительные числа. Если же b ¹ c, при всем этом a = 0, то данное уравнение корней не имеет.

Так, с параметрами учащиеся встречаются при внедрении неких понятий. Не приводя подробных определений, разглядим случай в качестве примеров последующие объекты:

· функция ровная пропорциональность:y = kx (x Рациональные уравнения и неравенства - реферат и y — переменные; k — параметр,k ¹ 0);

· линейная функция:y = kx + b (x и у — переменные, k и b —характеристики);

· линейное уравнение:ax + b = 0 (x — переменная;a и b —характеристики);

· уравнение первой степени:ax + b = 0 (x — переменная; a и b — характеристики, a ¹ 0);

· квадратное уравнение:ax2 + bx + c = 0 (x — переменная Рациональные уравнения и неравенства - реферат;a, b и c — характеристики, a ¹ 0).

Решить уравнение с параметрами значит последующее:

1) изучить, при каких значениях характеристик уравнение имеет корешки и сколько их при различных значениях характеристик.

2) Отыскать все выражения для корней и указать для каждого из их те значения характеристик, при которых это выражение вправду определяет Рациональные уравнения и неравенства - реферат корень уравнения.

Ответ к задачке “решить уравнение с параметрами” должен смотреться последующим образом: уравнение при таких-то значениях характеристик имеет корешки …, при таких-то значениях характеристик — корешки …, при других значениях характеристик уравнение корней не имеет.

Пример 10.42. Решим уравнение px = 6 с неведомым x и параметром p. Если p Рациональные уравнения и неравенства - реферат ¹ 0, то можно поделить обе части уравнения на p, тогда и мы находим корень уравнения x = 6 /p. Если p = 0, то уравнение корней не имеет, так как 0×x = 0 для хоть какого x.

Ответ: при p ¹ 0 уравнение имеет единственный корень x = 6 / p; при p = 0 уравнение корней не имеет.

Пример 10.43. Сопоставить Рациональные уравнения и неравенства - реферат: -a и 3a.

Решение. Естественно разглядеть три варианта:

Если a 3a;

Если a = 0, то -a = 3a;

Если a > 0, то -a < 3a.

Пример 10.44. Решить уравнения ax = 1.

Решение. На 1-ый взор представляется вероятным сходу дать ответ:x = 1 / a. Но при a = 0 данное уравнение решений не имеет, и верный ответ смотрится так:

Ответ Рациональные уравнения и неравенства - реферат: Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x = 1 / a.

Пример 10.45. Решить уравнение (a2 - 1)x = a + 1.

Решение. Несложно сообразить, что при решении этого уравнения достачно разглядеть такие случаи:

1) a = 1; тогда уравнение воспринимает вил 0x = 2 и не имеет решений;

2) a = -1; получаем 0x = 0, и разумеется x — хоть какое.

3) a &sup Рациональные уравнения и неравенства - реферат1;±1; имеем x = 1 / (a - 1).

Создадим одно замечание. Значимым шагом решения задач с параметрами является запись ответа. В особенности это относится к тем примерам, где решение вроде бы “ветвится” зависимо от значений параметра. В схожих случаях составление ответа — это сбор ранее приобретенных результатов. И тут очень принципиально не запамятовать отразить в Рациональные уравнения и неравенства - реферат ответе все этапы решения.

В только-только разобранном примере запись ответа фактически повторяет решение. Все же, мы считаем целесобразным привести

Ответ: Если a = -1, то x — хоть какое число;a = 1, то нет решений; если a ¹±1, то x = 1 / (a - 1).

Пример 10.46. При каких a уравнение ax2 - x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Сначала Рациональные уравнения и неравенства - реферат обратим внимание на распространённую ошибку: считать начальное уравнение квадратным. По сути это уравнение степени, не выше 2-ой. Пользуясь этим суждением, естественно начать решение, рассмотрев случай, когда a = 0, то разумеется данное уравнение имеет единственное решение. Если же a ¹ 0, то имеем дело с квадратным уравнением. Его дискриминант 1 - 12a воспринимает значение, равное нулю Рациональные уравнения и неравенства - реферат, при a = 1 / 12.

Ответ: a = 0 либо a = 1 / 12.

Пример 10.47. при каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

Решение. Понятно, что нужно начинать со варианта a = 2. Но при a = 2 начальное уравнение вообщем не имеет решений. Если a ¹ 2, то данное уравнение — квадратное, и, казалось бы, разыскиваемые Рациональные уравнения и неравенства - реферат значения параметра — это корешки дискриминанта. Но дискриминант обращается в нуль при a = 2 либо a = 5. Так как мы установили, что a = 2 не подходит, то

Ответ: a = 5.

Возможно, в 2-ух последних примерах ничего сложного нет (тем паче, ели они уже решены). Но, на наш взор, параметр в этих задачках проявляет своё “коварство”, в особенности Рациональные уравнения и неравенства - реферат для начинающих. Потому полезно разглядеть ещё несколько примеров, где параметр “расставляет ловушки”.

Пример 10.48. При каких значениях a уравнение ax2 + 4x + a + 3 = 0 имеет более 1-го корня?

Решение. При a = 0 уравнение имеет единственный корень, что не удовлетворяет условию. При a¹0 начальное уравнение, будучи квадратным, имеет два корня, если Рациональные уравнения и неравенства - реферат его дискриминант 16 - 4a2 - 12a — положительный. Отсюда получаем -4 < a < 1. Но в приобретенный просвет (-4; 1) заходит число 0, которое, как мы уже проверили, неприемлемо.

Ответ: -4 < a < 0 либо 0 < a < 1.

Пример 10.49. При каких a уравнение a(a + 3)x2 + (2a + 6)x - 3a - 9 = 0 имеет более 1-го корня?

Решение. Стандартный шаг — начать со случаев a = 0 и a = -3. При Рациональные уравнения и неравенства - реферат a = 0 уравнение имеет единственное решение. Интересно, что при a = -3 решением уравнения служит хоть какое действительное число. При a = -3 решением уравнения служит хоть какое действительное число. При a ¹-3 и a ¹ 0, разделив обе части данного уравнения на a + 3, получим квадратное уравнение ax2 + 2x - 3 = 0, дискриминант которого 4(1 + 3a) положителен при a > -1 / 3. Опыт прошлых Рациональные уравнения и неравенства - реферат примеров дает подсказку, что из промежутка (-1 / 3; ¥) нужно исключить точку a = 0, а в ответ не запамятовать включить a = -3.

Ответ: a = -3 либо -1 / 3 < a 0.

Пример 10.50. При каких значениях a уравнение (x2 - ax + 1) / (x + 3) = 0 имеет единственное решение?

Решение. Данное уравнение равносильно системе

x2 - ax + 1 = 0,

x ¹-3.

Наличие квадратного уравнения и условие единственности Рациональные уравнения и неравенства - реферат решения, естественно приведут к поиску корней дискриминанта. Вкупе с тем условие x ¹-3 должно привлечь внимание. И “узкий момент” состоит в том, что квадратное уравнение системы может иметь два корня! Но непременно только какой-то из них должен приравниваться -3. Имеем D = a2 - 4, отсюда D = 0, если a = ±2; x = -3 — корень уравнения x2 - ax Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 1 = 0 при a = -10 / 3, причём при таком значении a 2-ой корень квадратного уравнения отличен от -3.

Ответ: a = ±2 либо a = - 10 / 3.

Пример 10.51. При каких a уравнение ax2 = a2 равносильно неравенству

|x - 3|³ a?

Решение. При a ¹ 0 уравнение имеет единственное решение, а неравенство — нескончаемо много. Если a = 0, то решением как уравнения, так Рациональные уравнения и неравенства - реферат и неравенства является всё огромное количество реальных чисел. Как следует, требованию задачки удовлетворяет только a = 0.

Ответ: a = 0.

Пример 10.52. Решить уравнение с параметрами

(a2 - 9)x = a2 + 2a - 3.

Решение. Уравнение имеет смысл при всех значениях параметра. Запишем уравнение в виде:

(a - 3)(a + 3)x = (a + 3)(a - 1).

Если a = -3, то уравнение воспринимает Рациональные уравнения и неравенства - реферат вид: 0x = 0. Отсюда следует, что при x Î R, т.е. решением уравнения является хоть какое действительное число. Если a ¹-3, то уравнение воспринимает вид: (a -3)x = a -1.При a = 3 имеем 0x = 2. Уравнение решения не имеет. При a ¹-3 имеем x = (a - 1) / (a - 3). Уравнение имеет единственное решение (к примеру, x = 3 при a Рациональные уравнения и неравенства - реферат = 4, x=3/5при a= - 2 и т.д.)

Ответ: a = -3, x Î R; a = 3, x ÎÆ; a ¹±3, x = (a - 1) / (a - 3).

Пример 10.53.

(x - 4) / (x + 1) - 1 / a(x + 1) = -2 / a.

Решение. Разумеется, (x + 1)a ¹ 0, т.е. x ¹-1, a ¹ 0. Преобразуем данное уравнение, умножив обе его части на a(x + 1) ¹ 0:

(x - 4)a - 1 = -2(x + 1), т.е Рациональные уравнения и неравенства - реферат. (a + 2)x = 4a -1.

Если a = -2, то имеем 0х = -9. Как следует, xÎÆ. Если a ¹-2, то x = (4a +1) / (a + 2). Но, как мы уже отметили, x ¹-1. Потому нужно проверить, нет ли таких значений a при которых отысканное значение x равно -1.

(4a - 1) / (a + 2) = -1, т.е. 4a - 1 = -a - 2, т Рациональные уравнения и неравенства - реферат.е. 5a = -1, a= -1 / 5.

Означает, при a ¹ 0, a ¹-2, a ¹-1 / 5 уравнение имеет единственное решение (4a - 1) / (a + 2).

Ответ: x ÎÆпри a Î {-2, 0, -1 / 5}; x = (4a - 1) / (a + 2) при aÏ {-2, 0, -1 / 5}.

Пример 10.54.

(a - 5)x2 + 3ax - (a - 5) = 0.

Решение. При (a - 5) = 0,т.е. a = 5 имеем 15x - 0 = 0, т.е. x = 0. При a - 5 ¹ 0, т.е. a ¹ 5 уравнение Рациональные уравнения и неравенства - реферат имеет корешки

X1,2 = (-3a ±Ö(9a2 + 4(a - 5)2 )) / (2(a - 5)).

Ответ: x = 0 при a = 5; x = (-3a ±Ö(9a2 + 4(a - 5)2 )) / (2(a - 5)) при a ¹ 5.

Пример 10.55.

1 / (x - 1) + 1 / (x - a) = (a + 1) / a.

Решение. Отмечаем, что a(x - 1)(x - a) ¹ 0, т.е. x ¹ 1, x ¹ a, a ¹ 0. При этих критериях данное уравнение после упрощений воспринимает Рациональные уравнения и неравенства - реферат вид

(a + 1)x2 - (a2 + 4a + 1)x + (2a2 + 2a) = 0.

Если a +1 = 0, т.е. a = -1, имеем, 2x = 0, т.е. x = 0.

Если a + 1 ¹ 0, т.е. a ¹-1, то находим, что

x1,2 = (a2 + 4a + 1 ±Ö(a4 + 2a2 + 1)) / (2(a +1) = (a2 + 4a + 1 ± (a2 + 1) ) / (2(a + 1))

т.е. x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1). Найдём значения a, при которых Рациональные уравнения и неравенства - реферат x = 1 и x = a, чтоб исключить их.

a + 1 = 1 Þ a = 0 — неприемлимо по условию;

a + 1 = a Þ 1 = 0 — нереально;

2 / (a + 1) = 1 Þ 2a = a + 1, т.е. a = 1;

2 / (a + 1) = a Þ 2a = a2 + a, a = 1 и a = 0 — неприемлимо.

Итак, если a ¹-1, a ¹ 0, a ¹ 1, то x1 = a + 1, x2 = 2a / (a + 1).

Сейчас разглядим, что происходит с Рациональные уравнения и неравенства - реферат уравнением при a = 1. Найдём корешки уравнения: x1 = 1 и x2 = 2, причём x1 = 1 не подходит по условию. Сейчас выписываем

Ответ: x1 = a + 1 и x2 = 2 при a ¹ 0, a ¹±1; x = 0 при a = -1; x = 2 при a = 1.

Пример 10.56. При каких значениях a система уравнений

axy + x - y + 1,5 = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0.

Имеет единственное решение?

Решение Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Умножим 2-ое уравнение на a и вычтем его из первого уравнения. Получаем равносильную систему

axy + x - y + 1,5 - ax - 2ay -axy - a = 0,

x + 2y + xy + 1 = 0, т.е.

(1 - a)x - (2a + 1)y + 1,5 - a = 0,

x + 2y + xy + 1

a) Если a = 1, то -3y + 0,5 = 0, т.е. y = 1 /6. Подставив это значение во 2-ое уравнение, находим единственное Рациональные уравнения и неравенства - реферат значение x. Система имеет единственное решение.

b) Если a = -0,5, то система имеет единственное решение.

c) При других значениях a сведём систему к квадратному уравнению; из первого уравнения системы находим

y = ((1 - a)x + 1,5 - a) / (2a + 1),

подставляем во 2-ое уравнение:

x + ((2 - 2a)x + 3 - 2a) / (2a + 1) + ((1 - a)x2 + 1,5x - ax) / (2a + 1) +1 = 0, т Рациональные уравнения и неравенства - реферат.е.

2ax + 3x -2ax + 3 -2a + x2 - ax2 +1,5x - ax + 2a + 1 = 0,

(1 - a)x2 + (4,5 - a)x + 4 = 0.

Уравнение имеет единственное решение в этом случае, когда дискриминант равен нулю:

(9 / 2 - a)2 - 4× 4(1 - a) = 0, т.е. a2 + 7a + 17 / 4 = 0, т.е. a = (-7 ± 4Ö2) / 2.

Ответ: a = 1, a = -1 / 2, a = (-7 ± 4Ö2) / 2.

Пример 10.57.

x3 – (a + b + c)x2 + (ab + ac + bc)x Рациональные уравнения и неравенства - реферат – abc =0.

Решение. x3 – ax2 – bx2 – cx2 + abx + acx +bcx – abc = 0,

группируем:x2 (x – a) – bx(x – a) – cx(x – a) – cx(x – a) + bc(x – a),

(x – a)(x2 – bc – cx + bc).

(x – a) = 0,

x1 = a.

x2 – bc – cx + bc = 0,

x(x – b) – c(x – b) = 0,

(x – b)(x – c Рациональные уравнения и неравенства - реферат) = 0,

x – b = 0, x2 = b

x – c = 0, x3 = c.

Ответ: x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Замечание: корешки уравнения можно было просто отыскать, пользуясь аксиомой Виета для кубического уравнения:

если x3 + px2 + qx + r = 0, то

x1 + x2 + x3 = - p,

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = q,

x1 x2 x3 = - r .

В Рациональные уравнения и неравенства - реферат нашем случае:

x1 + x2 + x3 = a + b + c,

x1 x2 + x1 x3 + x2 x3 = ab + bc +cd,

x1 x2 x3 = abc.

Отсюда следует, что x1 = a; x2 = b; x3 = c.

Графический способ решения систем нелинейных уравнений.

Системы нелинейных уравнений с 2-мя неведомыми можно решать графически. Для этого необходимо начертить графики обоих Рациональные уравнения и неравенства - реферат уравнений и отыскать координаты точек их скрещения. Нам уже известны графики последующих уравнений:

1) ax + by + c = 0 — ровная линия.

2) xy = k — гипербола.

3) (x - a)2 + (y - b)2 = R2 — уравнение окружности с центром A(a, b) и радиусом R.

К этому виду приводятся при помощи выделения полных квадратов уравнения вида:

x2 + y Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 - 2ax - 2by + c = 0.

4) ax2 + bx + c = 0 — парабола y = ax2 c верхушкой в точке A(m, n), где m = -b / 2a, а n = (4ac - b2 ) / 4a.

Пример 11.58. Найдём графически корешки системы:

x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = 0,

2x - y = -1.

Решение. Выделяя полные квадраты, получаем:

x2 + y2 - 2x + 4y - 20 = (x Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 - 2x +1) + (y2 + 4y + 4) -1 - 4 - 20 = (x - 1)2 + (y + 2)2 - 25.

Означает, систему уравнений можно записать так:

(x - 1)2 + (y + 2)2 = 25,

2x - y = -1.

Графиком первого уравнения является окружность с центром A(1; -2) и радиусом 5. А 2x - y = - 1 — уравнение прямой, проходящей через точки B(0; 1) и C(2; 5). Строим окружность радиуса 5 с центром в точке A и проводим прямую через точки B и Рациональные уравнения и неравенства - реферат C. Эти полосы пересекаются в 2-ух точках M(1; 3) и N(-3; -5). Означает решение системы таково:x1 = 1, y1 = 3; x2 = -3, y2 = -5.


Уравнения содержащие символ модуля.

Два числа, модули которых равны, или равны меж собой, или отличаются только знаком: если |a| = |b|, то или a = b, или a = -b. Применим это замечание Рациональные уравнения и неравенства - реферат к решению уравнения

|3x - 1| = |2x + 3|.

В силу произнесенного выше из этого уравнения вытекает, что или 3х - 1 = 2х + 3, или 3х - 1 = -(2х + 3). Корнем первого уравнения является число 4, а второго — число -2 / 5. Итак, решение уравнения имеет вид х1 = 4, х2 = -2 / 5.

В других случаях бывает полезно поначалу установить, в каких точках обращаются в нуль выражения Рациональные уравнения и неравенства - реферат, стоящие под знаком модуля. Эти точки разбивают числовую ось на промежутки, снутри которых выражения сохраняют неизменный символ (промежутки знакопостоянства). Это позволяет освободиться на каждом из таких промежутков от знака модуля и свести задачку к решению нескольких уравнений — по одному на каждом промежутке.

При решении уравнений с модулем употребляется определение модуля и Рациональные уравнения и неравенства - реферат способ интервалов. Напомним, что

f (x), еслиf (x) ³ 0,

| f (x) | =

– f (x), еслиf (x) < 0.

Пример 12.59. Решим уравнение.

|x| = |3 - 2x|- x - 1.

Решение. Выражение x обращается в нуль при x = 0, а выражение 3 - 2x — при x = 3 / 2. Точки 0 и 3 / 2 разбивают числовую ось на промежутки (-¥; 0),[0; 3 / 2], (3 / 2;¥). При -¥ < x < 0 имеем x 0. Потому на этом промежутке |x| = - x, |3 - 2x| = 3 - 2x и уравнение воспринимает вид -x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, получаем, что x = 1. Но это значение x не лежит на (-¥; 0), и поэтому на этом промежутке уравнение корней не имеет. При 0£ x £ 3/ 2 имеем x ³ 0, 3 - 2x ³ 0, потому |x| = x, |3 - 2x| = 3 - 2x. И уравнение воспринимает вид x = 3 - 2x - x - 1. Решая его, находим x = 0,5. Потому что это значение x принадлежит промежутку [0; 3 / 2], то 1 / 2 является корнем данного уравнения. В конце концов, на промежутке (3 / 2; +¥) имеем x > 0, 3 - 2x < 0, а поэтому Рациональные уравнения и неравенства - реферат |x| = x, |3 - 2x| = -(3 - 2x) и уравнение воспринимает вид x = -(3 - 2x) - x - 1, т.е. 0 = - 4. Означает, на этом промежутке нет корней данного уравнения.

Мы получили, таким макаром, что уравнение имеет только один корень, а конкретно x = 0,5.

Ответ: x = 0,5.

В неких случаях уравнение со знаком модуля имеет нескончаемо много решений Рациональные уравнения и неравенства - реферат.

Пример 12.60. |8 - 5x| = |3 + x| + |5 -6x|.

Выражения (8 - 5x), (3 + x) и (5 - 6x) обращаются в нуль соответственно в точках 8 /5, -3, 5 / 6. Эти точки разбивают числовую ось на 4 промежутка. При всем этом, в процессе решения, устанавливаем, что на промежутках (-¥; -3), (5 / 6; 8 /5], (8 / 5; +¥) уравнение корней не имеет, а на промежутке [-3; 5 / 6] оно обращается в тождество 8 - 5x = 3 + x + 5 - 6x. Потому Рациональные уравнения и неравенства - реферат ответ имеет вид [-3; 5 / 6].

Ответ: [-3; 5/ 6].

Несколько труднее решаются уравнения, в каких встречается символ модуля под знаком модуля. Но и в данном случае способ разбиения оси на промежутки знакопостоянства позволяет решить уравнение.

Пример 12.61. Решим уравнение |2x - 3 -|x + 2|| = 8x + 12.

Решение. Выражение (x + 2) обращается в нуль при x = -2. Если x < -2, то (x + 2) < 0 и поэтому |x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 2| = -(x + 2). Означает, на промежутке (-¥; - 2) данное уравнение воспринимает вид |2x - 3 + (x + 2)| = 8x + 12, т.е. |3x - 1| = 8x + 12.Но при x < -2 имеем 3x - 1 < 0 и потому|3x - 1| = - (3x - 1). Получаем уравнение -(3x - 1) = 8x + 12, имеющее корень x = -1. Потому что это число не лежит на промежутке (-¥; - 2), то данное уравнение не имеет на это Рациональные уравнения и неравенства - реферат промежутке корней.

Пусть сейчас x ³- 2. Тогда |x + 2| = x + 2, и мы получаем уравнение |2x - 3 - (x + 2)| =8x + 12, т.е. |x - 5| = 8x + 12. Тут нужно разглядеть два варианта: x < 5 и x ³ 5. В первом случае ½x - 5| = -(х - 5), и поэтому получаем уравнение -(x - 5) = 8x + 12. Его корень равен -7 / 9. Так как -2£ (-7 / 9) £ 5, то -7 / 9 является корнем данного уравнения Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Если же x ³ 5, то |x - 5| = x - 5 и уравнение воспринимает вид x - 5 = 8x + 12. Корнем приобретенного уравнения является число -17 / 7. Так как оно не лежит на луче [5; +¥), оно не является корнем данного уравнения. Итак, решение имеет вид x = - 7 / 9.

Ответ: x = -7 / 9.

Пример 12.62.

|1 – 2x| + |3x + 2| + |x| = 5.

Решение. Приравниваем к Рациональные уравнения и неравенства - реферат нулю выражения, стоящие под знаком модуля, отмечаем на числовой оси приобретенные значения, исследуем уравнения в каждом из приобретенных интервалов:


А) если x 0, 3x + 2 < 0, x < 0 и уравнение переписывается так:

1 – 2x – 3x – 2 – x = 5, т.е. – 6x = 6, x = – 1 Î(–¥; – 2 / 3).

Б) если – 2 / 3 £ x 0, 3x + 2 ³ 0, x < 0 и потому имеем:

1 – 2x + 3x + 2 – x = 5, и т.к Рациональные уравнения и неравенства - реферат. 3¹ 5, то в промежутке [– 2 / 3; 0) корней нет.

В) если 0£ x < 0,5, то получаем: 1 – 2x + 3x + 2 + x = 5, т.е. 2x = 2; x = 1 Ï[0; 0,5).

Г) если 0,5 £ x, то – 1 +2x + 3x + 2 + x = 5, 6x = 4, x = 2 / 3 Î(0,5; ¥).

Ответ: x1 = – 1; x2 = 2 / 3.

Пример 12.63.

| x | + | x – 1 | = 1.

Решение. (x – 1) = 0, x = 1; Þполучаем интервалы:


A) x Î(-¥; 0), тогда – x – x +1 = 1; – 2x = 0; x = 0 Ï(-¥ Рациональные уравнения и неравенства - реферат;; 0).

Б) x Î[0; 1), тогда x – x +1 = 1; 1 = 1 Þ x — хоть какое число из [0; 1).

В) x Î[1; ¥), тогда x + x – 1 = 1; 2x = 2; x = 1 Î[1; ¥).

Ответ: x Î[0; 1].

Главные способы решения оптимальных уравнений.

1) Простые: решаются оковём обыденных упрощений — приведение к общему знаменателю, приведение схожих членов и т.д.. Квадратные уравнения ax2 + bx + c = 0 решаются по выведенной нами Рациональные уравнения и неравенства - реферат формуле


Также употребляется аксиома Виета: x1 + x2 = – b / a; x1 x2 = c / a.

2) Группировка: оковём группировки слагаемых, внедрения формул сокращённого умножения привести (если получится) уравнение к виду, когда слева записано произведение нескольких сомножителей, а справа — ноль. Потом приравниваем к нулю любой из сомножителей.

3) Подстановка:ищем в уравнении некое Рациональные уравнения и неравенства - реферат циклическое выражение, которое обозначим новейшей переменной, тем упрощая вид уравнения. В неких случаях разумеется что комфортно обозначить. К примеру, уравнение

(x2 + x – 5) / x + 3x / (x2 + x – 5) + 4 = 0,

просто решается при помощи подстановки (x2 + x – 5) / x = t, получаем t + (3 / t) + 4 = 0.

Либо: 21 / (x2 – 4x + 10) – x2 + 4x = 6. Тут можно сделать подстановку x2 – 4 = t. Тогда 21 / (t Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 10) - t = 6 и т.д.

В более сложных случаях подстановка видна только после нескольких преобразований. К примеру, дано уравнение

(x2 + 2x)2 – (x +1)2 = 55.

Переписав его по другому, а конкретно (x2 + 2x)2 – (x2 + 2x + 1) = 55, сходу увидим подстановку x2 + 2x=t.

Имеем t2 – t – 56 = 0, t1 = – 7, t2 = 8. Осталось решить x2 + 2x = – 7 и x2 + 2x = 8.

В Рациональные уравнения и неравенства - реферат ряде других случаев комфортную подстановку лучше знать “заблаговременно”. К примеру

1) Уравнение (x + a)4 + (x + b)4 = c сводится к биквадратному, если сделать подстановку

x = t – (a + b) / 2.

2) Симметрическое уравнение (возвратимое) a0 xn + a1 xn – 1 + … + a1 x + a0 = 0 (коэффициенты членов, равностоящих от концов, равны) решается при помощи подстановки x + 1 / x = t Рациональные уравнения и неравенства - реферат, если n —чётное; если n — нечётное, то уравнение имеет корень x = – 1.

3) Уравнение вида (x + a)(x + b)(x + c)(x + d) = l сводится к квадратному, еслиa + b = c + d и т.д.

4) Подбор: при решении уравнений высших степеней оптимальные корешки уравнения an xn + an – 1 xn – 1 + …+ a1 x Рациональные уравнения и неравенства - реферат + a0 = 0 ищем в виде p / q, где p — делитель a0 , q — делитель an , p и q взаимно ординарны, pÎZ, qÎN.

5) “Искусство”, т.е. решать пример неординарно, придумать “собственный способ”, додуматься что-то прибавить и отнять, выделить полный квадрат, на что-то поделить и помножить и т.д.

6) Уравнения с Рациональные уравнения и неравенства - реферат модулем: при решении уравнений с модулем употребляется определение модуля и способ интервалов. Напомним, что

f (x), еслиf (x) ³ 0,

| f (x) | =

– f (x), еслиf (x) < 0.

Оптимальные неравенства.

Пусть ¦(c) ¾ числовая функция 1-го либо нескольких переменных (аргументов). Решить неравенство

¦(c) 0) (1)

¾ это означает отыскать все значения аргумента (аргументов Рациональные уравнения и неравенства - реферат) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо. Огромное количество всех значении аргумента (аргументов) функции ¦, при которых неравенство (1) справедливо, именуется обилием решении неравенства либо просто решением неравенства.

Огромное количество решении нестрого неравенства

¦(c) £ 0 (¦(c) ³ 0) (2)

представляет собой объединение огромного количества решении неравенства (1) и огромного количества решении уравнения ¦(c) = 0.

Два неравенства числятся Рациональные уравнения и неравенства - реферат эквивалентными, если огромного количества их решении совпадают.

Под обилием допустимых значении неведомых, входящих в неравенство, понимают область определения функции ¦(c).

Неравенства вида (1) либо (2), составленные для разных функции ¦i (c), могут быть сведены в систему неравенств. Решить систему неравенств ¾ это означает отыскать огромное количество всех значении аргументов функции ¦i (c), при Рациональные уравнения и неравенства - реферат которых справедливы все неравенства системы сразу.

Молвят, что системы неравенств эквивалентны , если огромного количества их решении совпадают.

Характеристики равносильных неравенств.

При решении неравенств употребляют характеристики равносильности.

Неравенства с одной переменной именуются равносильными , если огромного количества их решении совпадают.

К примеру, неравенства 3х > 6 и х – 2 > 0 имеют однообразные огромного Рациональные уравнения и неравенства - реферат количества решении хÎ[2; +¥]. Эти неравенства – равносильные.

Неравенства х > 0 и х2 > 0 – неравносильные , потому что решение первого неравенства есть огромное количество хÎ[0; +¥], а решение второго неравенства есть огромное количество хÎ[-¥; 0]È[0; +¥]. Эти огромного количества не совпадают.

При решении неравенств производятся только такие преобразования, при которых получаются более обыкновенные равносильные неравенства. Эти Рациональные уравнения и неравенства - реферат преобразования вероятны при выполнении последующих параметров равносильных неравенств.

Свойство 1. Если к обеим частям неравенства прибавить одно и то же число либо одно и то же выражение, которое имеет смысл при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. Р(х) > Q(x) – неравенство, Т(х Рациональные уравнения и неравенства - реферат) – выражение, которое имеет смысл при всех реальных значениях х, хÎR.

Обосновать. Неравенства Р(х) > Q(x) и Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x) – равносильные.

Подтверждение. а) Пусть при х = а неравенство Р(а) > Q(a) – верное числовое равенство, т.е. х =а – одно из решении неравенства Р(х) > Q Рациональные уравнения и неравенства - реферат(x), Т(а) – значение Т(х) при х =а.

По свойству числовых неравенств Р(а) + Т(а) >Q(a) + T(a) – верное числовое неравенство.

Как следует, х = а – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x). Потому, если х =а есть решение первого Рациональные уравнения и неравенства - реферат неравенства, то это значение есть также решение второго неравенства.

б) Пусть х = b – одно из решений неравенства Р(х) + Т(х) > Q(x) + T(x), т.е. P(b) + T(b) > Q(b) + T(b) –верное числовое неравенство. По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное Рациональные уравнения и неравенства - реферат числовое неравенство. Как следует, х = b – решение неравенства P(x) > Q(x).

Потому что огромного количества решений неравенства P(x) > Q(x) и P(x) + T(x) > > Q(x) + T(x) совпадают, то эти неравенства равносильные.

Свойство 2 . Если в неравенстве хоть какое слагаемое, которое имеет смысл при вех хÎR, перенести Рациональные уравнения и неравенства - реферат из одно части в другую с обратным знаком, то получим неравенство, равносильно данному.

Дано . P(x) + T(x) > Q(x) – неравенство, Т(х) – слагаемое, которое имеет смысл при всех хÎR.

Обосновать. Неравенства P(x) + T(x) > Q(x) и P(x) > Q(x) – T(x) – равносильные.

Подтверждение Рациональные уравнения и неравенства - реферат. По свойству 1 можно к обеим частям неравенства P(x) + T(x) > Q(x) прибавить слагаемое (-Т(х)), потому что это слагаемое имеет смысл при всех хÎR; получим равносильное неравенство:

P(x) + T(x) – T(x) > Q(x) – T(x), отсюда P(x) > Q(x) – T(x).

Свойство 3. Если Рациональные уравнения и неравенства - реферат обе части неравенства помножить на одно и то же положительное число либо на одно и то же выражение, положительное при всех значениях переменной, то получим неравенство, равносильное данному.

Дано. P(x) > Q(x) – неравенство (1),

T(x) > 0, xÎR,

P(x)×T(x) > Q(x)×T(x) – неравенство (2).

Обосновать Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Неравенства (1) и (2) равносильные.

Подтверждение. Пусть при х = а P(a) > Q(a) – верное числовое неравенство, т.е. х = а – одно из решении первого неравенства. T(a) – значение Т(х) при х = а Т(а) > 0.

По свойству числовых неравенств P(a)×T(a) > Q(a)×T(a) – тоже верное числовое неравенство, т Рациональные уравнения и неравенства - реферат.е. х = а –одно из решении первого неравенства. Как следует, если х= а – решение первого неравенства, то х = а – также решение второго неравенства.

Пусть при х = b неравенство P(b)×T(b) > Q(b)×T(b) – верное числовое неравенство, т.е. х = b – одно из решении второго Рациональные уравнения и неравенства - реферат неравенства.

По свойству числовых неравенств P(b) > Q(b) – тоже верное числовое неравенство, потому что T(b) > 0. Как следует, х = b – одно из решении первого неравенства.

Так как огромного количества решении первого и второго неравенств совпадают, то они равносильные.

Свойство 4 . Если обе части неравенства помножить на одно и то же отрицательное число Рациональные уравнения и неравенства - реферат либо на одно и то же выражение, отрицательное при всех значениях переменной, и поменять символ неравенства на обратный, то получим неравенство, равносильное данному.

Это свойство доказывается аналогично 3 свойству.

Алгебраические неравенства.

Линейными (серьезными и нестрогими) именуются неравенства вида

ax + b > 0, ax + b < 0, ax + b ³ 0, ax + b £ 0, a ¹ 0,

решениями Рациональные уравнения и неравенства - реферат которых будут:

при a> 0

xÎ(- ; ¥ ), xÎ( -¥; - ), xÎ[ - ; ¥ ), xÎ( -¥; - ],

при а < 0

xÎ( -¥; - ), xÎ( - ; ¥), xÎ( -¥; - ], xÎ[ - ; ¥ ).

Квадратными (серьезными и нестрогими) именуются неравенства вида

ax2 + bx + c > 0, ax2 + bx + c < 0,

ax2 + bx + c ³ 0, ax2 + bx + c £ 0,

где a, b, c ¾некие действительные числа Рациональные уравнения и неравенства - реферат и а ¹ 0.

Квадратное неравенство ax2 + bx + c > 0 зависимо от значении собственных коэффициентов a, b и c имеет решения:

при а > 0 и D = b2 – 4ac ³ 0

xÎ( -¥; )È( ; ¥);

при а > 0 и D < 0 x ¾хоть какое действительное число;

при а < 0 и D ³ 0

xÎ( ; );

при а Рациональные уравнения и неравенства - реферат < 0 и D < 0

x = Æ (т. е. решении нет ).

Решение неравенства ax2 + bx + c < 0 сводится к решению рассмотренного неравенства, если обе части неравенства помножить на (-1).

Способ интервалов.

Пусть Рn (x) ¾многочлен n-й степени с действительными коэффициентами, а c1 , c2 , ¼ , ci ¾все действительные корешки многочлена с кратностями k1 , k2 , &frac Рациональные уравнения и неравенства - реферат14; , ki соответственно, при этом с1 > c2 > ¼ > ci . Многочлен Pn (x) можно представить в виде

Рn (x) = (x - c1 )k1 (x - c2 )k2 ¼ (x – ci )ki Qm (x), (3)

где многочлен Qm (x) реальных корней не имеет и или положителен, или отрицателен при всех хÎR. Положим для определенности, что Рациональные уравнения и неравенства - реферат Qm (x) > 0. Тогда при х > c1 все сомножители в разложении (3) положительны и Рn (х) > 0. Если с1 ¾корень нечетной кратности (k1 ¾нечетное), то при хÎ(с2 ; с1 ) все сомножители в разложении (3), кроме первого, положительны и Рn (х)<0. В данном случае молвят, что многочлен Рn (х) меняет символ при переходе через корень с1 . Если же с1 ¾корень четной кратности (k1 ¾четное), то все сомножители (в том числе и 1-ый) при хÎ(с2 ; с1 ) положительны и, как следует, Рn (х) > 0 при хÎ(c2 ; с1 ). В данном случае молвят, что многочлен Рn Рациональные уравнения и неравенства - реферат (х) не меняет символ при переходе через корень с1 .

Аналогичным методом, используя разложение (3), несложно удостоверится, что при переходе через корень с2 многочлен Рn (х) меняет символ, если k2 ¾ нечетное, и не меняет знака, если k2 ¾четное. Рассмотренное свойство многочленов употребляется для решения неравенств способом интервалов Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Для того чтоб отыскать все решения

Рn (х) > 0, (4)

довольно знать все действительные корешки многочлена Рn (х) их кратности и символ многочлена Рn (х) в произвольно избранной точке, не совпадающей с корнем многочлена.

Пример: Решить неравенство

х4 + 3х3 – 4х > 0. (*)

Решение. Разложим на множители многочлен Р4 (х), стоящий в левой части Рациональные уравнения и неравенства - реферат неравенства (*). Вынося множитель х за скобку, получаем

Р4 (х) = х(х3 + 3х2 – 4).

2-ой сомножитель, представляющий из себя кубический многочлен, имеет корень х = 1. Как следует, он может быть представлен в виде

х3 + 3х2 – 4 = (х-1)(х2 + 4х + 4) = (х-1)(х + 2)2 .

Таким макаром, Р4 (х) = х(х - 1)(х + 2)2 и неравенство (*) может быть записано в виде

х(х –1)(х Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 2)2 > 0. (**)

Решим неравенство (**) способом интервалов. При х > 1 все сомножители, стоящие в левой части неравенства, положительны.

Рис. 1
Будем двигаться по оси Ох справа влево. При переходе через точку х = 1 многочлен Р4 (х) меняет символ и воспринимает отрицательные значения, потому что х = 1 ¾ обычной корень (корень кратности 1); при переходе через точку Рациональные уравнения и неравенства - реферат х = 0 многочлен также меняет символ и воспринимает положительные значения, потому что х = 0 ¾ также обычный корень; при переходе через точку х = -2 многочлен знака не меняет, потому что х = -2 ¾ корень кратности 2. Промежутки знакопостоянства многочлена Р4 (х) схематически представлены на рис 1. Используя этот набросок, просто выписать огромное количество решений Рациональные уравнения и неравенства - реферат начального неравенства.

Ответ. х Î (-¥; -2) È (-2; 0) È (1; ¥).

Пример: Решить неравенство

(х2 – 3х – 2)(х2 – 3х + 1) < 10.

Решение: Пусть х2 – 3х – 2 = y. Тогда неравенствоприметвид y(y +3) < 10, либо y2 + 3y – 10 < 0, откуда (y + 5)(y – 2) < 0. Решением этого неравенства служит интервал –5

x2 – 3x – 2 < 2, x2 – 3x – 4 < 0,

либо

x2 – 3x –2 > -5, x2 – 3x + 3 > 0,

откуда

(x – 4)(x + 1) < 0,

(x + )2 + > 0.

Так как 2-ое неравенство Рациональные уравнения и неравенства - реферат производится при всех х, решение этой системы есть интервал (-1; 4).

Ответ: (-1; 4).

Пример: Решить неравенство

х4 – 34х2 + 225 < 0.

Решение. Поначалу решим биквадратное уравнение х4 – 34х2 + 225 < 0. Полагая х2 = z, получаем квадратное уравнение z2 – 34z + 225 = 0, из которого находим: z1 = 9 и z2 = 25. Решая уравнения х2 = 9 и х2 = 25, получаем 4 корня биквадратного уравнения: -3, 3, -5, 5. Означает,х4 – 34х Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 + 225 = (х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5), и потому данное неравенство иммет вид:

(х + 5)(х + 3)(х – 3)(х – 5) < 0.


Изображаем на координатной прямой точки –5, -3, 3, 5 и проводим кривую символов. Решение неравенства является объединение интервалов (-5; -3) и (3; 5).

Ответ: (-5; -3)È(3; 5).

Пример: Решить неравенство

х4 – 3 < 2х(2х2 – х – 2).

Решение. Дано целое рациональное неравенство. Перенесем все слагаемые в левую часть и Рациональные уравнения и неравенства - реферат приведем многочлен к стандартному виду. Получим равносильное неравенство

х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 < 0.

Решая уравнение х4 – 4х3 + 2х2 + 4х – 3 = 0, находим корешки х1 = -1, х2,3 = 1, х4 = 3. Тогда неравенство можно переписать в виде

(х – 1) 2 (х + 1)(х – 3) < 0.

Отысканные корешки разбивают числовую ось на четыре промежутка, на каждом из которых левая часть неравенства, а означает, и начального неравенства сохраняет Рациональные уравнения и неравенства - реферат символ. Выбирая пробные точки в каждом из промежутков (довольно значения х подставлять исключительно в последний два сомножителя), получаем знаки, обозначенные на рисунке. Лицезреем, что неравенство производится на промежутках (-1; 1) и (1; 3).

Потому что неравенство серьезное, то числа –1, 1, 3 не входят в решение неравенства.

Ответ: (-1; 1)È(1; 3).

Дробно-рациональные неравенства.

Решение оптимального неравенства

> 0 (5)

где Рn Рациональные уравнения и неравенства - реферат (х) и Qm (х) ¾ многочлены, сводится к решению эквивалентного неравенства (4) последующим образом: умножив обе части неравенства (5) на многочлен [Qm (x)]2 , который положителен при всех допустимых значениях неведомого х (т.е. при тех х, при которых Qm (x) ¹ 0), получим неравенство

Рn (х) ×Qm (x) > 0,

эквивалентное неравенству (5).

Дробно-линейным именуется неравенство Рациональные уравнения и неравенства - реферат вида

(6)
> k

где a,b, c, d, k ¾некие действительные числа и с ¹ 0, (если с = 0, то дробно-линейное неравенство преобразуется в линейное, неравенство (6) не содержит аргумента). К дробно-линейным неравенствам относятся и неравенства вида (6), где заместо знака > стоят знаки <, ³, £. Решениедробно-линейного неравенства сводится к решению квадратного неравенства. Для этого Рациональные уравнения и неравенства - реферат нужно помножить обе части неравенства (6) на выражение (сх + d)2 , положительное при всех хÎR и x ¹ -d/c.

Пример: Решить неравенство

< -1.

Решение: Прибавляя к обеим частям неравенства 1, получим неравенство вида (5).

< 0,

которое эквивалентно неравенству

х2 (х2 – х – 2) < 0.

Огромное количество решений последнего неравенства находится способом интервалов: хÎ( -1;0)È(0;2).

Ответ: х Рациональные уравнения и неравенства - рефератÎ(-1;0)È(0;2).

Пример: Решить неравенство

£.

Решение: Перенеся все члены неравенства в левую часть, получим

- - £ 0, либо £ 0, откуда £ 0.

Пользуясь способом интервалов и беря во внимание символ неравенства, заключаем, что решением неравенства является объединение полуинтервалов: [-4; -3)È(-1; 1].

Ответ: [-4; -3)È(-1; 1].

Пример: Решить неравенство:

£ 0.

Решение: Полагая х ¹ 0 и х ¹ 3, разделим обе части неравенства на положительную дробь и получим и Рациональные уравнения и неравенства - реферат сходу заметим, что х = 0 удовлетворяет данному неравенству, а х = 3 не удовлетворяет. Не считая того, множители с нечетными показателями степени заменим надлежащими множителями первой степени (ясно, что при всем этом символ выражения в левой части неравенства не поменяется). В итоге получим более обычное неравенство, равносильное данному для всех х¹0 и Рациональные уравнения и неравенства - реферат х¹3:

£ 0.

Начертив кривую символов, заштрихуем промежутки удовлетворяющие этому неравенству, и отметим на той же оси точки х = 0 и х = 3. Беря во внимание, что значение х = 0 является решением данного неравенства, но не принадлежит заштрихованному промежутку, его следует дополнительно включать в ответ. Значение х = 3 не является решением неравенства, но принадлежит заштрихованному промежутку Рациональные уравнения и неравенства - реферат; как следует, это значение необходимо исключить. Итак, получаем ответ: (-¥; -4)È[1; 3)ÈÈ(3; 4,5]U0.

Ответ: (-¥; -4)È[1; 3)È(3; 4,5]U0.

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, переписываем данное неравенство в виде

< 0.

Точками, в каких множители меняют знаки, являются –5, 1, 2, 6. Они разбивают числовую ось не интервалы (-¥; -5), (-5; 1), (1; 2), (2; 6),(6; +¥). При помощи кривой символов находим Рациональные уравнения и неравенства - реферат интервалы, где производится неравенство: (-5; 1) и (2; 6). При всем этом из (-5; 1) нужно удалить точку 0, потому что в этой точке выражение обращается в нуль. Итак, получаем ответ в виде (-5; 0)È(0; 1)È(2; 6).

Ответ: (-5; 0)È(0; 1)È(2; 6).

Пример: Решить неравенство

< 0.

Решение. Разлагая числитель и знаменатель на множители, перепишем данное неравенство в виде

< 0.

Нанесем числа 0, 1, 2, 5, при которых числитель и знаменатель обращаются в нуль Рациональные уравнения и неравенства - реферат, на числовую ось. Они разбивают числовую ось на 5 промежутков.

При помощи “пробных” точек найдем символ выражения в каждом промежутке.

Выпишем интервалы, где производится неравенство: (-¥; 0), (0; 1), (2; 5).

Ответ: (-¥; 0)È(0; 1)È(2; 5).

Неравенства, содержащие неведомое под знаком абсолютной величины.

При решении неравенства, содержащих неведомое под знаком абсолютной величены, употребляется тот же прием Рациональные уравнения и неравенства - реферат, что и при решении уравнении, содержащих неведомое под знаком абсолютной величены, конкретно: решение начального неравенства сводится к решению нескольких неравенств, рассматриваемых на промежутках знакопостоянства выражений, стоящих под символов абсолютной величены.

Пример: Решить неравенство

½х2 - 2½ + х < 0. (*)

Решение: Разглядим промежутки знакопостоянства выражения х2 – 2, стоящего под знаком абсолютной величены.

1) Представим, что

х Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 – 2 ³ 0,

тогда неравенство (*) воспринимает вид

х2 + х –2 < 0.

Скрещение огромного количества решений этого неравенства и неравенства х2 –2 ³ 0 представляет собой 1-ое огромное количество решений начального неравенства (рис 1): хÎ(-2; -].

2) Представим, что х2 – 2 < 0, тогда согласно определению абсолютной величены имеем ½х2 - 2½= 2 – х2 , и неравенство (*) приобретает вид

2 – х2 + х < 0.

Рис. 2
Рис. 1

Скрещение огромного количества решений этого неравенства Рациональные уравнения и неравенства - реферат и неравенства х2 – 2 < 0 дает 2-ое огромное количество решений начального неравенства (рис. 2): хÎ(-; -1).

Объединяя отысканные огромного количества решений, совсем получаем хÎ(-2; -1)

Ответ: хÎ(-2; -1).

В отличие от уравнений неравенства не допускают конкретной проверки. Но почти всегда можно убедиться в корректности приобретенных результатов графическим методом. Вправду, запишем неравенство примера в Рациональные уравнения и неравенства - реферат виде

½х - 2½< -х.

Построим функции y1 =½х2 - 2½ и y2 = -х, входящие в левую и правуючасть рассматриваемого неравенства, и найдем те значения аргумента, при которых y1

На рис. 3 заштрихованная область оси абсцисс содержит разыскиваемые значения х.

Рис. 3


Решение неравенств, содержащих символ абсолютной величены, время от времени можно существенно Рациональные уравнения и неравенства - реферат уменьшить, используя равенство ½х½2 = х2 .

Пример : Решить неравенство

½½ > 1. (*)

Решение: Начальное неравенство при всех х ¹­ -2 эквивалентно неравенству

½­х - 1½>½х + 2½. (**)

Возведя обе части неравенства (**) в квадрат, после приведения схожих членов получаем неравенство

6х < -3,

т.е. х < -1/2.

Беря во внимание огромное количество допустимых значений начального неравенства Рациональные уравнения и неравенства - реферат, определяемого условием х ¹ -2, совсем получаем, что неравенство (*) производится при всех хÎ(-¥; -2)È(-2; -1/2).

Ответ: (-¥; -2)È(-2; -1/2).

Пример: Отыскать меньшее целое х, удовлетворяющее неравенству:

> 1.

х > -4,

x > -4/3.

-(2х + 5) < х + 1

2х + 5 > х +1,

Решение: Потому что ½х +1½³ 0 и, по условию, ½х +1½¹ 0, то данное неравенство равносильно последующему: 2х + 5 > &frac Рациональные уравнения и неравенства - реферат12;х +1½. Последнее в свою очередь, эквивалентно системе неравенств –(2х + 5) < х + 1 < 2х + 5,

откуда

Минимальным целым числом х удовлетворяющей этой системе будет неравенств, является 0. Заметим, что х ¹ -1, по другому выражение в левой части данного неравенства не имеет смысла.

Ответ: 0.

Пример: Решить неравенство:

³½х½ - 2 .

Решение: Пусть &frac Рациональные уравнения и неравенства - реферат12;х½ = y. Заметим дальше, что ½х½ + 1 > 0. Потому данное неравенство эквивалентно последующему: -2 ³ (y –2)(y + 1), либо y2 – y £ 0, либо 0 £y£ 1, либо 0 £½х½£ 1. Отсюда -1£ х £ 1.

Ответ: [-1; 1].

Пример: Решить неравенство

½х2 – 3х + 2½+ ½2х + 1½£ 5.

Решение. х2 – 3х + 2 отрицателен при 1 < x < 2 и неотрицателен Рациональные уравнения и неравенства - реферат при других х, 2х + 1 меняет символ при х = -½. Как следует, нам нужно разглядеть четыре варианта.

1. х < -½. В данном случае х2 – 3х + 2 > 0, 2х +1 < 0. Получаем неравенство х2 – 3х + 2 – 2х – 1 £ 5, х2 – 5х – 4 £ 0. С учетом условия х < -½ находим £ х £ -½.

2. – ½ £ х £ 1. Имеем неравенство х2 – х – 2 £ 0. Его решение –1 £ х £ 2. Как следует, весь отрезок –½£ x £ 1удовлетворяет неравенству Рациональные уравнения и неравенства - реферат .

3. 1 < x < 2. Получаем х2 – 5х + 6 ³ 0; х £ 2 либо х ³ 3. Вновь подходит весь интервал.

4. х ³ 2. Неравенство то же, что и в случае 2. Подходит только х = 2.

Ответ: £ х £ 2.

Пример: Решить неравенство.

½½х3 + х - 3½- 5½£ х3 – х + 8.

Решение. Решим это неравенство не стандартным образом.


½х3 + х - 3½ - 5 £ х3 – х Рациональные уравнения и неравенства - реферат + 8, ½х3 + х - 3½£ х3 – х + 13

½х3 + х - 3½ - 5 £ -х3 + х – 8 ½х3 + х - 3½³ - х3 + х – 3

х3 + х – 3 £ х3 – х + 13 х £ 8,

х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 13, х3 ³ -5,

х3 + х – 3 ³ -х3 + х – 3, х3 ³ 0,

х3 + х – 3 £ х3 – х + 3 х £ 3

-£ х £ 8, -£ х £ 8.

х – хоть какое

Ответ: -£ х Рациональные уравнения и неравенства - реферат £ 8.

Неравенства с параметрами.

Неравенства с параметрами являются более тяжелыми задачками курса простой арифметики. Это разъясняется тем, что их решения следует получать при всех допустимых значениях входящих в их характеристик.

Пример: Для всех значений а решить неравенство

aх > 1/x.

Решение: Запишем неравенство в виде

> 0,

тогда начальное неравенство эквивалентно двум системам неравенств Рациональные уравнения и неравенства - реферат:

ax2 – 1 > 0, ax2 – 1 < 0,

x > 0; x < 0.

Разглядим первую систему. 1-ое неравенство запишем в виде:

ax2 > 1.

При а > 0 оно эквивалентно неравенству х2 > 1/a, огромное количество решений которого х 1/. В данном случае решения первой системы: хÎ(1/;¥). При а £ 0 левая часть неравенства ах2 –1 > 0 отрицательна при любом х и неравенство решений не имеет, а как Рациональные уравнения и неравенства - реферат следует, не имеет решений и вся система неравенств.

Разглядим вторую систему. При а > 0 решениями неравенства ах2 – 1<0 будут значения хÎ(-1/; 1/), а решениями системы ¾ значения хÎ(-1/; 0). При a£ 0 левая часть неравенства ах2 –1 < 0 отрицательна при

б
а

всех значениях х, т.е. это неравенство производится при все хÎR и Рациональные уравнения и неравенства - реферат, как следует, решениями системы будут значения хÎ(-¥; 0).

Приведем графическую иллюстрацию решения этого примера.

Для этого разглядим раздельно два варианта а > 0 и а £ 0 и для каждого из их построим графики функций, стоящих в левой и правой частях начального неравенства. Заштрихованные промежутки оси Ох представляют собой решение неравенства в рассматриваемых случаях Рациональные уравнения и неравенства - реферат.

Графическая иллюстрация упрощает решение уравнений и неравенств с параметрами.

Ответ: Если а £ 0, то хÎ(-¥; 0); если а > 0, то хÎ(-1/; 0)È(1/; ¥).

Пример: Решить неравенство:

¾ < .

Решение: Преобразуем данное неравенство: 3m2 х + 3 – 2mx2 – 6 < m + 9x; mx2 – 9x < m + 3; (m – 3)(m + 3)x < m + 3. Дальше находим решение неравенства при разных значения Рациональные уравнения и неравенства - реферат параметра m:

1) Пусть (m – 3)(m + 3) > 0, т.е. m 3. Тогда неравенство имеет решение х < 1/(m – 3).

2) Пусть (m – 3)(m + 3) < 0, т.е. –3 < m 1/(m – 3).

3) Пусть (m – 3)(m + 3) = 0, т.е. m = 3 либо m = -3. Тогда если m = 3, то неравенство воспримет вид 0×х < 6 и, означает производится при любом хÎR. Если же m = -3, то неравенство Рациональные уравнения и неравенства - реферат воспримет вид 0×х < 0 и, как следует, не имеет решении.

Пример: Для каждого неотрицательного значения параметра а решить неравенство

4а3 х4 + 4а2 х2 + 32х + а + 8 ³ 0.

Решение. Левая часть неравенства представляет собой многочлен как относительно х, так и относительно параметра а. Степени соответственно равны 4 и 3. Но если помножить многочлен на а, а Рациональные уравнения и неравенства - реферат потом сделать подмену y = ax, то в новеньком многочлене наибольшая степень параметра а будет равна 2. Случай а = 0 дает нам ответ х ³ - ¼. Будем сейчас считать, что а > 0. Умножив обе части неравенства на а и сделав подмену y = ax, получим

4y4 + 4ay2 + 32y + a2 + 8a ³ 0.

Левая часть Рациональные уравнения и неравенства - реферат представляет собой квадратный трехчлен относительно а:

a2 + (4y2 + 8)a + 4y2 + 32y ³ 0,

¼D = (2y2 + 4) 2 – 4y2 – 32y = 16(y – 1) 2 .

Раскладывая левую часть неравенства на множители, получим

(а + 2y2 + 4y)(a + 2y2 – 4y + 8) ³ 0,

либо

(2y2 + 4y + a)(2y2 – 4y + 8 + a) ³ 0.

2-ой множитель положителен при всех y, если а > 0. Приходим к неравенству 2y2 + 4y + a Рациональные уравнения и неравенства - реферат ³ 0, откуда, если 0 < a < 2, y£ ½(-2 -) либо y ³½(-2+); если а ³ 2, y – хоть какое. Ворачиваясь к х, получим ответ.

Ответ: Если а = 0, то х ³ - ¼; если 0 < a < 2, то х £ 1/2a*(-2 - ) либо х ³ 1/2a(-2 + ); если а ³ 2, то х – хоть какое.

Рис. 1, а
Пример: Решить Рациональные уравнения и неравенства - реферат систему неравенств

х2 – 3х + 2 £ 0,

ах2 – 2(а + 1)х + а – 1 ³ 0.

Решение: Так как решением первого неравенства является 1 £ х £ 2, то задачка сводится (при а ¹ 0) к выяснению расположения корней квадратного трехчлена f(x) = ах2 – 2(а + 1)х + а –1 относительно отрезка [1; 2]. Имеем

¼D = (а + 1) 2 – а(а – 1) = 3а + 1, f(1) = -3, f(2) = а – 5.

Область конфигурации Рациональные уравнения и неравенства - реферат параметра а оказалось разбитой на 4 части (не считая граничных точек).

1) Если а < - 1/3, 2-ое неравенство, а как следует и данная система не имеют решения. То же имеет место и при а = -1/3.

2)

Рис. 1, б

Если –1/3< a < 0, то f(1)< 0, f(2) < 0. Для верхушки параболы производится неравенство хв = < 0 (рис. 1,а ). Как следует, огромное количество решении Рациональные уравнения и неравенства - реферат второго неравенства не содержит точек отрезка [1; 2]. Система

не имеет решения. То же имеет место и при а = 0.

3) Если 0 < a < 5, то f(1) < 0, f(2) < 0 (рис. 1, б). Означает, на всем отрезке [1; 2]f(x)< 0. Система вновь не имеет решения.

4) Если а ³ 5, то f(1)< 0, f(2) ³ 0 (рис. 1, в). Решением системы будет х Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 £ х £ 2 где х2 – больший корень уравнения f(x) = 0.

Рис. 1, в
Ответ: Если а < 5, система не имеет решения; если а ³ 5, то 1/а(а + 1 +) £ х £ 2.

Пример: Решить неравенство

½2х2 + х – а - 8½£ х2 + 2х – 2а – 4.

Решить: Напомним, что неравенство ½а½£b эквивалентно двойному неравенству –b £ a £ b. В нашем случае Рациональные уравнения и неравенства - реферат после преобразования приходим к системе неравенств

а £ -х2 + х + 4,

а £ х2 + х – 4.

Изобразим на плоскости (х; а) огромное количество точек, координаты которых удовлетворяют приобретенной системе. При определенном значении параметра а = a решением нашего неравенства будут абциссы тех точек горизонтальной прямой а = a, которые находятся в заштрихованной области. Найдем точки скрещения Рациональные уравнения и неравенства - реферат А(2; 2), В(-2; -2) наших точек парабол и верхушку С(-0,5; -4,25) параболы а = х2 +х – 4.

Дальше получаем: если а > 2, то соответственная ровная пересекается с заштрихованной областью.

Если –2 < a £ 2, то соответственная ровная пересекается с заштрихованной областью по отрезку. Концами этого отрезка будут точки с абциссами ½(-1 + ) (больший корень уравнения а = х2 + х – 4 либо х Рациональные уравнения и неравенства - реферат2 – х – 4 + а= 0).

Если –4¼£ a £ -2, то горизонтальная ровная, соответственная таким а, пересекается с заштрихованной областью по двум отрезкам. Решением неравенства будет

½(1 - ) £ х £ - ½(1 + ),

½(-1 + ) £ х £ -½(1 + ).

Если а < -4¼, то ½(1 - ) £ x £ ½(1 + ).

Системы оптимальных неравенств.

Пусть нужно отыскать числовые значения х, при которых преобразуются в верные числовые неравенства Рациональные уравнения и неравенства - реферат сразу несколько оптимальных неравенств. В таких случаях молвят, что нужно решить систему оптимальных неравенств с одним неведомым х.

Чтоб решить систему оптимальных неравенств, нужно отыскать все решения каждого неравенства системы. Тогда общая часть всех отысканных решений и будет решением системы.

Пример: Решить систему неравенств


(х –1)(х – 5)(х – 7) < 0,

> 0.

Поначалу Рациональные уравнения и неравенства - реферат решаем неравенство

(х – 1)(х – 5)(х – 7) < 0.

Применяя способ интервала (рис. 1), находим, что огромное количество всех решении неравенства (2) состоит из 2-ух интервалов: (-¥, 1) и (5, 7).

Сейчас решим неравенство

> 0.

Применяя способ интервалов (рис. 2), находим, что огромное количество всех решении неравенства (3) также состоит их 2-ух интервалов: (2, 3) и (4, +¥).

Сейчас нужно отыскать общую часть решении неравенств (2) и (3). Нарисуем Рациональные уравнения и неравенства - реферат координатную ось х и отметим на ней отысканные решения. Сейчас яс


но, что общей частью решении неравенств (2) и (3) является интервал (5, 7) (рис. 3).

Как следует, огромное количество всех решении системы неравенств (1) составляет интервал (5, 7).

Пример: Решить систему неравенств

х2 – 6х + 10 < 0,

> 0.

Решим поначалу неравенство

х2 – 6х + 10 < 0.

Применяя способ выделения полного квадрата, можно написать, что

х2 – 6х + 10 = х2 - 2×х Рациональные уравнения и неравенства - реферат×3 + 32 - 32 + 10 = (х – 3) 2 +1.

Потому неравенство (2) можно записать в виде

(х – 3) 2 + 1 < 0,

откуда видно, что оно не имеет решении.

Сейчас можно не решать неравенство

> 0,

потому что ответ уже ясен: система (1) не имеет решении.

Пример: Решить систему неравенств

< 1,

x2 < 64.

Разглядим поначалу 1-ое неравенство; имеем

- 1 < 0, < 0.

При помощи кривой символов (рис. 4) находим решения этого неравенства: х Рациональные уравнения и неравенства - реферат < -2; 0 < x < 2.

Решим сейчас 2-ое неравенство данной системы. Имеем x2 - 64< 0, либо (х – 8)(х + 8) < 0. При помощи кривой символов (рис. 5) находим решения неравенства: -8 < x < 8.

Отметив отысканные решения первого и второго неравенства на общей числовой прямой (рис. 6), найдем такие промежутки, где эти решения совпадают (пресечение решении): -8 < x < -2; 0 < x < 2. Это и есть решение системы.

Пример: Решить систему Рациональные уравнения и неравенства - реферат неравенств

х2 ³ 100х3 ;

³ 0.

Преобразуем 1-ое неравенство системы:

х3 (х – 10)(х + 10) ³ 0, либо х(х – 10)(х + 10) ³ 0

(т.к. множители в нечетных степенях можно подменять надлежащими множителями первой степени); при помощи способа интервалов (рис. 7) найдем решения последнего неравенства: -10£х £ 0, х ³ 10.

Разглядим 2-ое неравенство системы; имеем Рациональные уравнения и неравенства - реферат

£ 0.

Находим (рис. 8) х £ -9; 3 < x < 15.

Объединив отысканные решения, получим (рис. 9) х £ 0; х > 3.

Пример: Отыскать целочисленные решения системы неравенств:

х + y < 2,5,

x – y > -3,

y –1 > 0.

Решение: Приведем систему к виду

x + y < 2,5,

y – x < 3,

y > 1.

Складывая 1-ое и 2-ое неравенства, имеем y < 2, 75, а беря во внимание третье неравенство, найдем 1 < y < 2,75. В этом интервале Рациональные уравнения и неравенства - реферат содержится только одно целое число 2. При y = 2 из данной системы неравенств получим

х < 0,5,

x > -1,

откуда –1 < x < 0,5. В этом интервале содержится только одно целое число 0.

Ответ: х = 0, y =2.

ГРАФИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕРАВЕНСТВ

Неравенства с одной либо 2-мя переменными можно решать графически.

Неравенство с одной переменой можно записать так: f(x) > g(x), где f(x Рациональные уравнения и неравенства - реферат) и g(x) – выражения, содержащие переменную.

Построим в одной системе координат графики функций y =f(x) и у= g(x).

Решение неравенства есть огромное количество значений переменой х, при которых график функций у=g(x), потому что f(x)>g(x).Это показано на рисунках 1 и 2.


Решение неравенства Рациональные уравнения и неравенства - реферат с 2-мя переменными f(x,y)>0 есть огромное количество

точек плоскости, координаты которых удовлетворяют этому неравенству. Разглядим на примерах решение неких неравенств с 2-мя переменными.

Пример 1. Решить графически неравенство

x+у > 0.

Решение. Запишем неравенство в виде у> -х. Построим прямую у= -х. Координаты точек плоскости, которые лежат выше этой прямой Рациональные уравнения и неравенства - реферат, есть решение неравенства ( на рисунке 3 – заштрихованная область).

Пример 2. Решить графически неравенство

х2 – у > 0.

Решение. Запишем неравенство в виде у < x2 .

Построим кривую у=х2 (парабола) (набросок 4).

Решение неравенства есть координаты точек плоскости, которые лежат в заштрихованной области (ниже построенной параболы).

При решении систем неравенств с 2-мя переменными находят скрещение областей Рациональные уравнения и неравенства - реферат решений этих неравенств.

Пример 3. Решить графически систему неравенств


x2 +у2 –4 > 0,

y > 0,

x > 0.

Решение. Решение первого неравенства системы есть координаты точек плоскости (набросок 5), которые лежат вне окружности х+у=4; решение второго неравенства есть координаты точек верхней полуплоскости; решение третьего неравенства есть координаты точек правой полуплоскости.

Решением системы являются координаты точек, которые Рациональные уравнения и неравенства - реферат лежат в заштрихованной области.

ТЕСТ

1) Решить уравнение: = 1.

А) 0,

Б) 1,

В) Нет решений,

Г) xÎ (-¥; 1)È(1; ¥).

2) Решить уравнение: = 0.

А ) Нет решений,

Б) -1,

В) -5,

Г) -1;-5.

3) Решить уравнение: + - = 0.

А) -2; ; 5,

Б) Нет решений,

В) xÎ (-¥; 3)È(3; ¥),

Г) x ÎR.

4) Решить уравнение:ax = 1.

А) Если a ¹ 0, то xÎR; если a Рациональные уравнения и неравенства - реферат = 0, то нет решений,

Б) Если a = 0, то нет решений; если a ¹ 0, то x = ,

В) Если a = 0 , то xÎR; если a ¹ 0, то x = .

Г) Нет решений.

5) При каких a уравнение ax2 - 4x + a + 3 = 0 имеет более 1-го корня?

А) - 4 < a < 0,

Б) 0 < a < 1,

В) aÎ(-¥; 0)È(0; ¥),

Г Рациональные уравнения и неравенства - реферат) - 4 < a < 0; 0 < a < 1.

6) При каких a уравнение (a - 2)x2 + (4 - 2a)x + 3 = 0 имеет единственное решение?

А) 2,

Б) аÎ(-¥; 2)È(2; ¥),

В) 5,

Г) - 4.

7) Решить уравнение:|x2 - 1| + |a(x - 1)| = 0.

А) Если a ¹ 0, то x =1; если a = 0, то x = ±1,

Б) Если а ¹ 0, то нет решений; если a = 0, то x = 1.

В) x = ±1,

Г Рациональные уравнения и неравенства - реферат) Нет решений.

8) Решить систему:

- = ,

y2 - x - 5 = 0.

А) (4; 3), (4; - 3),

Б) (1; 2),

В) Нет решений,

Г) xÎR, y = ±3.

9) Решить систему:

x2 + y2 - 2x = 0,

x2 - 2xy + 1 = 0.

А) (1; -1), (5; 5)

Б) Нет решений,

В) (1;1),

Г) (-2; 3), (3; -2).

10) При каких a неравенство 2x + a > 0 является следствием неравенства x + 1 - 3a > 0?

А),

Б) а ³,

В) при всех a,

Г) а£.

11) Отыскать наибольшее Рациональные уравнения и неравенства - реферат целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > 1.

а) хÎ(-¥; -3,5),

б) –3,

в) –4,

г) нет решений.

12) Отыскать наибольшее целое х, удовлетворяющие неравенству:

- > -.

а)5,

б) –3,

в) 4,

г)нет решений.

13) Отыскать целочисленные решения неравенств:

< 0.

а) 0, 1, 2,

б) 4, 5,

в) 7,

г)нет решений.

14) Отыскать целочисленные решения неравенств:

17 – 4х < 0,

10х – 67 < 0.

а)5,

б) –3, -4, -5,

в) 5,6,

г)нет решений.

15) Решить Рациональные уравнения и неравенства - реферат неравенство:

- < 0.

а) (-¥; -3)È(0; 3,

б) (–3, 0)È(0; ¥),

в) (5; 7),

г) нет решений.

16) Решить неравенство:

< -.

а) (-¥; -3/25)È(0; ¥),

б) (–12, 0)È(7;9),

в) (-¥;)È( ; 5),

г) нет решений.

17) Решить неравенство:

< -1.

а) (-9; -5)È(0; 8),

б) (–8, -7)È(1;3),

в) (-¥; -7)È(1; 3),

г) нет решений.

18) Решить неравенство:

£.

а) [-4; -2)È(0;5],

б) (–1, 0]È[1;7),

в) (-4; -3)È[5; 7],

г) нет решений.

19) Решить неравенство

½1,5 – 3х½< 3.

а) (-2,5; -2)È(0; 3,5],

б) (–0,5; 1,5),

в) (-4,5; -3,5),

г) нет решений.

20) Решить неравенство Рациональные уравнения и неравенства - реферат:

>½х + 2½.

а) (-3; -1),

б) (0; 1),

в) (-7; -10),

г) нет решений.

Ответы: 1 -Г; 2 -В; 3 - В; 4 - Б; 5 - Г; 6 - В; 7 - А; 8 - А; 9 - В;10 – Б;

11 – В; 12 – А; 13 – А; 14 – В; 15 – А; 16 – В; 17 – Б; 18 – В; 19 – Б; 20 – А.

Перечень использованной литературы :

1) Математика. Насыщенный курс подготовки к экзамену. О. Ю. Черкасов, А. Г. Якушев. Москва, изд. “Айрис”, 1997.

2) Тыща Рациональные уравнения и неравенства - реферат и один пример. Равенства и неравенства. А. М. Назаренко, Л. Д. Назаренко. Сумы, изд. “Слобожанщина”, 1994.

3) Система тренировочных задач и упражнений по арифметике. А. Я. Симонов. Москва, изд. “Просвещение” 1991.

4) Алгебра 8 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1995.

5) Задачки по арифметике для поступающих во ВТУЗы. Р. Б. Райхмист. Москва, изд. “Высшая школа Рациональные уравнения и неравенства - реферат”, 1994.

6) Алгебраический тренажёр. А. Г. Мерзляк. Москва - Харьков, изд. “Илекса”, изд. “Гимназия”, 1998.

7) Готовимся к экзамену по арифметике. Д. Т. Письменный. Москва, изд. “Айрис”, 1996.

8) Задачки по арифметике. Уравнения и неравенства. Вавилов В. В., Мельников И. И. Москва, изд. “Наука”, 1987.

9) Алгебра и начала анализа. Издание 2-ое, переработанное и дополненное. А. Г Рациональные уравнения и неравенства - реферат. Мордкович. Москва, изд. “Высшая школа”, 1987.

10) Алгебра. Пособие для самообразования. С. М. Никольский. Москва, изд. “Наука”, 1985.

11) Справочник по способам решения задач по арифметике. А. Г. Цыпкин. Москва, изд. “Наука”, 1989.

12) Решение задач. И. Ф. Шарыгин. Москва, изд. “Просвещение”, 1994.

13) Алгебра и математический анализ. 10 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1997.

14) Математика. Алгебра и начала анализа Рациональные уравнения и неравенства - реферат. А. И. Лобанова. Киев, изд. “Вища школа”, 1987.

15) Алгебра. 9 класс. Н. Я. Виленкин. Москва, изд. “Просвещение”, 1996.



rabota-v-sisteme-statistica.html
rabota-v-srede-autocad-referat.html
rabota-v-sverhurochnoe-vremya.html